Question

【題目】已知直線PD垂直平分⊙O的半徑OA于點B，PD交⊙O于點C，D，PE是⊙O的切線，E為切點，連結AE，交CD于點F

（1）若⊙O的半徑為8，求CD的長；

（2）證明：PE=PF；

（3）若PF=13，sinA=，求EF的長．

Answer 1

【答案】（1）CD=8；（2）證明見解析；（3）EF=10.

【解析】

（1）首先連接OD，由直線PD垂直平分⊙O的半徑OA于點B，⊙O的半徑為8，可求得OB的長，又由勾股定理，可求得BD的長，然后由垂徑定理，求得CD的長．

（2）由PE是⊙O的切線，易證得∠PEF=90°-∠AEO，∠PFE=∠AFB=90°-∠A，繼而可證得∠PEF=∠PFE，根據等角對等邊的性質，可得PE=PF．

（3）首先過點P作PG⊥EF于點G，易得∠FPG=∠A，即可得FG=PFsinA=13×=5，又由等腰三角形的性質，求得答案．

解：（1）連接OD，

∵直線PD垂直平分⊙O的半徑OA于點B，⊙O的半徑為8，

∴OB=OA=4，BC=BD=CD．

∴在Rt△OBD中，．

∴CD=2BD=8．

（2）證明：

∵PE是⊙O的切線，

∴∠PEO=90°．

∴∠PEF=90°－∠AEO，∠PFE=∠AFB=90°－∠A．

∵OE=OA，

∴∠A=∠AEO．

∴∠PEF=∠PFE．

∴PE=PF．

（3）過點P作PG⊥EF于點G，

∴∠PGF=∠ABF=90°．

∵∠PFG=∠AFB，

∴∠FPG=∠A．

∴FG=PFsinA=13×=5．

∵PE=PF，∴EF=2FG=10．