Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a＜0，c＞0）與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，其對稱軸l為x=﹣1，直線y=kx+m經過A，C兩點，與拋物線的對稱軸l交于點D，且AD=2CD，連接BC，BD．

（1）求A，B兩點的坐標；
（2）求證：a=﹣k；
（3）若△BCD是直角三角形，求拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖，設對稱軸l與x軸的交點為E，

∵l∥y軸，

∴ = ，且AD=2DC，

∴AE=2EO，

∵對稱軸l為x=1，

∴E（﹣1，0），則EO=1，

∴AE=2，則OA=3，

∴A（﹣3，0），

∵A、B關于對稱軸l對稱，

∴BE=AE=2，則OB=1，

∴B（1，0）

（2）

證明：∵拋物線經過A（﹣3，0）和B（1，0），

∴拋物線解析式為y=a（x+3）（x﹣1），即y=ax2+2ax﹣3a，

∵拋物線與y軸交于點C，

∴C（0，﹣3a），

∵直線y=kx+m經過A、C兩點，

∴ ，解得m=3k，

∴C（0，3k），

∴﹣3a=3k，即a=﹣k

（3）

解：由（1）、（2）可知B（1，0），C（0，3k），D（﹣1，2k），

∴BC2=1+9k2，BD2=4+4k2，CD2=1+k2，

∵在Rt△BCO中，∠CBD＜∠CBO＜90°，

∴∠CBD為銳角，

∴只可能當∠BCD或∠BDC為直角時，△BCD才是直角三角形，

①當∠BCD為直角時，則有BC2+CD2=BD2，

∴1+9k2+1+k2=4+4k2，即k2= ，

∵k＞0，

∴k= ，

∴a=﹣k=﹣ ，

∴拋物線解析式為y=﹣ x2﹣ x+ ；

②當∠BDC為直角時，則有BD2+CD2=BC2，

∴4+4k2+1+k2=1+9k2，即k2=1，

∵k＞0，

∴k=1，

∴a=﹣k=﹣1，

∴拋物線解析式為y=﹣x2﹣2x+3；

綜上可知拋物線解析式為y=﹣ x2﹣ x+ 或y=﹣x2﹣2x+3

【解析】（1）設對稱軸x與x軸交點為E，由平行線分線段成比例可求得AE的長，則可求得A點坐標，再利用拋物線的對稱性可求得B點坐標；（2）把A、B兩點的坐標代入拋物線解析式，可用a表示出C點的坐標，再由直線AC的解析式可用k表示出C點坐標，則可得到a和k的關系；（3）用k可表示出C、D的坐標，利用勾股定理可表示出BC2、BD2和CD2 ， 分∠BDC=90°和∠BCD=90°兩種情況可分別求得k的值，可求得k的值，可求得a的值，則可求出拋物線的解析式．