Question

【題目】如圖1，已知三角形紙片△ABC和△DEF重合在一起，AB＝AC，DE＝DF，△ABC≌△DEF．數學實驗課上，張老師讓同學們用這兩張紙片進行如下操作：

(1)（操作探究1）保持△ABC不動，將△DEF沿射線BC方向平移至圖2所示位置，通過度量發現BE：CE＝1：2，則S△CGE：S△CAB＝　 　；

(2)（操作探究2）保持△ABC不動，將△DEF通過一次全等變換(平移、旋轉或翻折后和△ABC拼成以BC為一條對角線的菱形，請用語言描述你的全等變換過程．

(3)（操作探究3）將兩個三角形按圖3所示放置：點C與點F重合，AB∥DE．保持△ABC不動，將△DEF沿射線DA方向平移．若AB＝13，BC＝10，設△DEF平移的距離為m．

①當m＝0時，連接AD、BE，判斷四邊形ABED的形狀并說明理由；

②在平移的過程中，四邊形ABED能否成為正方形？若能，請求出m的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)4：9；(2)將△DEF沿EF翻折或繞BC中點旋轉180°；(3)①矩形，理由見解析；②能，m＝或m＝．

【解析】

（1）證△CGE∽△CAB，得；（2）運用翻折或旋轉；（3）①先證四邊形ABED是平行四邊形，再證四邊形ABED是矩形；②過點A作AG⊥BC，過點C作CH⊥BE，CM⊥AB，根據勾股定理求出AG，再求出三角形ABC的面積，得BH＝CM＝，BE＝2BH＝，根據平移定義得BE＝AB.

(1)如圖2，由題意知DE∥AB，

∴△CGE∽△CAB，

則

故答案為：4：9；

(2)將△DEF沿EF翻折或繞BC中點旋轉180°；

(3)①∵AB∥DE且AB＝BC＝DC＝DE，

∴四邊形ABED是平行四邊形，

∵∠DEC+∠CEB+∠CBE+∠ABC＝180°，

且∠DEC＝∠ABC，∠CEB＝∠CBE，

∴∠DEC+∠CEB＝90°，即∠BED＝90°，

∴四邊形ABED是矩形；

②能，

如圖，過點A作AG⊥BC，過點C作CH⊥BE，CM⊥AB，

∴CM＝，

則BH＝CM＝，BE＝2BH＝，

∵四邊形ABED是正方形，

∴平移后BE＝AB，

則m＝或m＝．