Question

【題目】如圖，⊙O為短形ABCD的外接圓，其半徑為3．

（1）用尺規作圖作出∠ABC的平分線，并標出它與劣弧AD的交點E(保留作圖痕跡，不寫作法)；

（2）若（1）中的點E到弦AD的距離為2，求弦AB的長．

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；（2）AB=－2．

【解析】

（1）按照角平分線作法，進行畫圖即可；

（2）如圖，過點E作EF⊥AD于點F，連接DE，BD，設BE與AD交于點H，由矩形的性質可得：∠DAB=∠ABC=90°，故BD是⊙O的直徑，即BD=6．可證AB=AH．EH=ED，HF=DF=EF=2．在Rt△ABD中，利用勾股定理列出方程進行解答即可．

（1）∠ABC的平分線及點E如圖所示．

（2）如圖，過點E作EF⊥AD于點F，

連接DE，BD，設BE與AD交于點H

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠DAB=∠ABC=90°

∴BD是⊙O的直徑，即BD=6．

∵BE是∠ABC的平分線，

∴∠ABE=45°，∠AHB=45°，

∴AB=AH．

∵∠EHF=∠AHB=45°，∠EDH=∠ABE=45°，

∴EH=ED，

∴HF=DF=EF=2．

設AB=x，則AD=AH＋DH=x＋4．

在Rt△ABD中，由勾股定理，

得AB2＋AD2=BD2，

即x＋(x＋4)2=62，

解得：x=－2(另一解不合題意，已舍去)，

∴AB=－2．