Question

【題目】拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于，點(diǎn)為拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作平行交拋物線于，、兩點(diǎn)間距離為

求的解析式；

取線段中點(diǎn)，連接，當(dāng)最小時(shí)，判斷以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是什么四邊形；

設(shè)為軸上一點(diǎn)，在的基礎(chǔ)上，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1) 直線解析式為(2) 四邊形是菱形，理由見解析；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為和

【解析】

（1）先求得點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出直線BC解析式即可；

（2）根據(jù)m最小時(shí)，直線PQ和拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)直線解析式由直線PQ和拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，聯(lián)立解析式可得，根據(jù)△=0求得b值，即可求得直線解析式及點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式得出BM=OP=OM，即可判斷出四邊形POMB是菱形；（3）確定出直線PQ解析式，分點(diǎn)在軸負(fù)半軸上和

點(diǎn)在軸正半軸兩種情況求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

∵拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于，

∴，

令，則，∴或，

∴，，

∴直線解析式為，

四邊形是菱形，

理由：如圖，

∵、兩點(diǎn)間距離為，且最小，即：，此時(shí)直線和拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，

∵平行，

∴設(shè)直線解析式①，

∵②，

聯(lián)立①②得，，

∴，∴，

∴直線解析式為，，

∴直線過原點(diǎn)，

∴，

∴，

∵，，取線段中點(diǎn)，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴四邊形是平行四邊形，

∵，

∴，

∴平行四邊形是菱形；

由知，，，

∴直線解析式為，

∴

①當(dāng)點(diǎn)在軸負(fù)半軸上時(shí)，

∵，

∴是的角平分線，

∴，

設(shè)，

∵，

∴，，，，

∴，

∴（舍）或，

∴，

②當(dāng)點(diǎn)在軸正半軸時(shí)，由對稱性得出，

即點(diǎn)的坐標(biāo)為和．