Question

【題目】如圖1，在等腰直角三角形中，,點在邊上，連接，連接

（1）求證：

（2）點關于直線的對稱點為，連接

①補全圖形并證明

②利用備用圖進行畫圖、試驗、探究，找出當三點恰好共線時點的位置，請直接寫出此時的度數，并畫出相應的圖形

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①見解析；②畫圖見解析，.

【解析】

（1）先根據同角的余角相等推出∠BAD=∠CAE，再根據SAS證得△BAD≌△CAE，進而可得結論；

（2）①根據題意作圖即可補全圖形；利用軸對稱的性質可得ME=AE，CM=CA，然后根據SSS可推出△CME≌△CAE，再利用全等三角形的性質和（1）題的∠BAD=∠CAE即可證得結論；

②當三點恰好共線時，設AC、DM交于點H，如圖3，由前面兩題的結論和等腰直角三角形的性質可求得∠DCM=135°，然后在△AEH和△DCH中利用三角形的內角和可得∠HAE=∠HDC，進而可得，接著在△CDM中利用三角形的內角和定理求出∠CMD的度數，再利用①的結論即得答案.

解：（1）證明：∵AE⊥AD，∴∠DAE=90°，∴∠CAE+∠DAC=90°，

∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠DAC=90°，

∴∠BAD=∠CAE，

又∵BA=CA，DA=EA，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴；

（2）①補全圖形如圖2所示，∵點關于直線的對稱點為，∴ME=AE，CM=CA，

∵CE=CE，∴△CME≌△CAE（SSS），

∴，

∵∠BAD=∠CAE，

∴；

②當三點恰好共線時，設AC、DM交于點H，如圖3，由（1）題知：，

∵△CME≌△CAE，∴，∴∠DCM=135°，

在△AEH和△DCH中，∵∠AEH=∠ACD=45°，∠AHE=∠DHC，∴∠HAE=∠HDC，

∵，∴，

∴，

∵，

∴.