Question

【題目】如圖，中，，點在的延長線上，點在上，，點是與的交點，且．

圖中是否存在與相等的角？若存在，請找出，并加以證明，若不存在，說明理由；

求證：；

若將“點在的延長線上，點在上”和“點是與的交點，且”分別改為“點在上，點在的延長線上”和“點是的延長線與的交點，且”，其他條件不變（如圖）．當，時，求的長（用含、的式子表示）．

Answer 1

【答案】．證明見解析 的長為．

【解析】

（1）運用等腰三角形的性質及三角形的外角性質就可解決問題．
（2）過點E作EG∥AC，交AB于點G，如圖1，要證BE=CE，只需證BG=AG，由DF=FE可證到DA=AG，只需證到DA=BG即DG=AB，也即DG=AC即可．只需證明△DCA≌△△EDG即可解決問題．
（3）過點A作AH⊥BC，垂足為H，如圖2，可求出BC=2cosα．過點E作EG∥AC，交AB的延長線于點G，易證△DCA≌△△EDG，則有DA=EG，CA=DG=1．易證△ADF∽△GDE，則有．由DF=kFE可得DE=EF-DF=（1-k）EF．從而可以求得AD=，即GE=．易證△ABC∽△GBE，則有，從而可以求出BE．

．

證明：∵，，

∴，．

∴．過點作，交于點，如圖，

則有．

在和中，

∴．

∴，．

∴．

∴．

∵，，

∴．

∴．

∵，

∴．過點作，交的延長線于點，如圖，

∵，，

∴，．

∴．

∵，

∴．

在和中，

∴．

∴，

∴．

∵，

∴．

∴．

∵，

∴．

∴．

∴．

∴．

過點作，垂足為，如圖，

∵，，

∴．

∴．

∵，，

∴．

∴．

∵，

∴．

∴．

∴．

∴．

∴的長為．