Question

【題目】如圖，、、三點在同一條直線上，和是等邊三角形，、分別為、的中點．

求證：（1）；

（2）是等邊三角形．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析

【解析】

（1）由兩三角形為等邊三角形，得到兩對邊相等，一對角為60度，利用等式的性質得到夾角相等，利用SAS得到三角形ACD與三角形BCE全等；

（2）利用全等三角形的對應角相等得到一對角相等，再由兩個角為60度，且夾邊AC=BC，利用SAS得到三角形ACM與三角形BCN全等，利用全等三角形對應邊相等即可得證.

證明：

（1）∵△ABC與△ECD均為等邊三角形，

∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=60°，

∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴

（2）由（1）可得，∠DAC=∠EBC

∵M、N分別為AD、BE的中點

∴AM=BN

又AC=BC

∴△ACM≌△BCN（SAS）

∴MC=NC,∠ACM=∠BCN

∴∠MCN=∠ACM+∠ACN=∠BCN+∠ACN=∠ACB=60°

∴是等邊三角形