Question

【題目】如圖，已知直線l與⊙O相離，OA⊥l于點A，OA=5．OA與⊙O相交于點P，AB與⊙O相切于點B，BP的延長線交直線l于點C．

（1）試判斷線段AB與AC的數量關系，并說明理由；
（2）若PC=2 ，求⊙O的半徑和線段PB的長；
（3）若在⊙O上存在點Q，使△QAC是以AC為底邊的等腰三角形，求⊙O的半徑r的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：AB=AC，理由如下：

連接OB．

∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，

∴∠OBA=∠OAC=90°，

∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°，

∵OP=OB，

∴∠OBP=∠OPB，

∵∠OPB=∠APC，

∴∠ACP=∠ABC，

∴AB=AC

（2）解：延長AP交⊙O于D，連接BD，

設圓半徑為r，則OP=OB=r，PA=5﹣r，

則AB2=OA2﹣OB2=52﹣r2，

AC2=PC2﹣PA2= ﹣（5﹣r）2，

∴52﹣r2= ﹣（5﹣r）2，

解得：r=3，

∴AB=AC=4，

∵PD是直徑，

∴∠PBD=90°=∠PAC，

又∵∠DPB=∠CPA，

∴△DPB∽△CPA，

∴ = ，

∴ = ，

解得：PB= ．

∴⊙O的半徑為3，線段PB的長為

（3）解：作出線段AC的垂直平分線MN，作OE⊥MN，則可以推出OE= AC= AB=

又∵圓O與直線MN有交點，

∴OE= ≤r，

≤2r，

25﹣r2≤4r2，

r2≥5，

∴r≥ ，

又∵圓O與直線相離，

∴r＜5，

即 ≤r＜5．

【解析】（1）連接OB，根據切線的性質和垂直得出∠OBA=∠OAC=90°，推出∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPA=90°，求出∠ACP=∠ABC，根據等腰三角形的判定推出即可；（2）延長AP交⊙O于D，連接BD，設圓半徑為r，則OP=OB=r，PA=5﹣r，根據AB=AC推出52﹣r2= ﹣（5﹣r）2 ， 求出r，證△DPB∽△CPA，得出 = ，代入求出即可；（3）根據已知得出Q在AC的垂直平分線上，作出線段AC的垂直平分線MN，作OE⊥MN，求出OE＜r，求出r范圍，再根據相離得出r＜5，即可得出答案．