Question

【題目】已知x1，x2是關于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的兩個實數根，是否存在實數k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－成立？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】不存在，理由詳見解析.

【解析】

由于方程有兩個實數根，那么根據根與系數的關系可得x1+x2=1，x1x2=，然后把x1+x2、x1x2代入（2x1-x2）（x1-2x2）=-中，進而可求k的值．

∵x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的兩個實數根，

∴x1+x2=1，x1x2=，

∴（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=2x12﹣4x1x2﹣x1x2+2x22=2（x1+x2）2﹣9x1x2=2×12﹣9×=2﹣，

若2﹣=﹣成立，

解上述方程得，k=，

∵△=16k2﹣4×4k（k+1）=﹣16k＞0，

∴k＜0，∵k=，

∴矛盾，

∴不存在這樣k的值；