Question

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，已知拋物線的對稱軸為x=1，B（3，0），C（0，-3）．
（1）求這個拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使點P到A、C兩點間的距離之和最小．若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（3）如果在x軸上方平行于x軸的一條直線交拋物線于M，N兩點，以MN為直徑作圓恰好與x軸相切，求此圓的直徑．

Answer 1

（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-1）²+c，
把B（3，0），C（0，-3）代入得：

a(3-1)2+c=0 a(0-1)2+c=-3

，
解得a=1，c=-4，
∴拋物線的解析式為y=（x-1）²-4，
即y=x²-2x-3；

（2）存在．
∵由對稱性可知，A點的坐標(biāo)為（-1，0），
∵C點坐標(biāo)為（0，-3），B點坐標(biāo)為（3，0），
∴直線BC的解析式為y=x-3，
∵P點在對稱軸上，設(shè)P點坐標(biāo)為（1，y）代入y=x-3，
求得P點坐標(biāo)為（1，-2）；

（3）證明：設(shè)圓的半徑為r，
依題意有M（1-r，r），N（1+r，r）把M的坐標(biāo)代入y=x²-2x-3，
整理得：r²-r-4=0，
解得r1=

1+ 17

2

，r2=

1- 17

2

（舍去），
∴所求圓的直徑為1+

17

．