Question

【題目】如圖，在等邊△ABC 中，點 D 是線段 BC 上一點.作射線 AD ，點 B 關于射線 AD 的對稱點為 E .連接 EC 并延長，交射線 AD 于點 F .

（1）補全圖形；（2）求∠AFE 的度數；（3）用等式表示線段 AF 、CF 、 EF 之間的數量關系，并證明.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）60°；（3）AF=EF+CF，理由見解析

【解析】

（1）根據題意補全圖形即可；

（2）連接AE，根據對稱性得到AE AB ， FAB FAE ，設FAC ，則FAB FAE 60 ，故EAC 60 60 2，再根據AE AC 得到AFE 180 FAE FEA 60；

（3）作FCG 60 交 AD 于點 G，連接 BF，根據等邊三角形的性質得到ACG 60 GCD BCF，再證明△ ACG ≌△ BCF，得到AG BF，再根據對稱性得到BF EF 再得到AF EF CF

（1）補全圖形：

（2）連接AE，

∵△ABC 是等邊三角形，

∴ AB AC BC ， BAC BCA 60.

∵點B關于射線 AD 的對稱點為 E ，

∴ AE AB ，FAB FAE .

設FAC ，則FAB FAE 60

∴ EAC 60 60 2， 又 AE AC .

∴ AFE 180 FAE FEA 60

（3） AF EF CF

證明：如圖 3，作FCG 60 交 AD 于點 G，連接 BF.

∴△ FCG 是等邊三角形.

∴ GF CF GC . CGF GFC FCG 60 .

∴ACG 60 GCD BCF

在△ ACG 和△ BCF 中，

∴△ ACG ≌△ BCF .

∴ AG BF .

∵點 B 關于射線 AD 的對稱點為 E ，

∴ BF EF .

∵ AF AG GF .

∴ AF EF CF