Question

【問題提出】

規(guī)定：四條邊對應(yīng)相等，四個角對應(yīng)相等的兩個四邊形全等．

我們借助學習“三角形全等的判定”獲得的經(jīng)驗與方法對“全等四邊形的判定”進行探究．

【初步思考】

在兩個四邊形中，我們把“一條邊對應(yīng)相等”或“一個角對應(yīng)相等”稱為一個條件，滿足4個條件的兩個四邊形不一定全等，如邊長相等的正方形與菱形就不一定全等．類似地，我們?nèi)菀字�道兩個四邊形全等至少需要5個條件．

【深入探究】

小莉所在學習小組進行了研究，她們認為5個條件可分為以下四種類型：

Ⅰ一條邊和四個角對應(yīng)相等；

Ⅱ二條邊和三個角對應(yīng)相等；

Ⅲ三條邊和二個角對應(yīng)相等；

Ⅳ四條邊和一個角對應(yīng)相等．

（1）小明認為“Ⅰ一條邊和四個角對應(yīng)相等”的兩個四邊形不一定全等，請你舉例說明．

（2）小紅認為“Ⅳ四條邊和一個角對應(yīng)相等”的兩個四邊形全等，請你結(jié)合下圖進行證明．

已知：如圖，          ．

求證：                     ．

證明：

（3）小剛認為還可以對“Ⅱ二條邊和三個角對應(yīng)相等”進一步分類，他以四邊形和四邊形為例，分為以下四類：

①，，，，；

②，，，，；

③，，，，；

④，，，，；

其中能判定四邊形和四邊形全等的是     （填序號），概括可得“全等四邊形的判定方法”，這個判定方法是         ．

（4）小亮經(jīng)過思考認為也可以對“Ⅲ三條邊和二個角對應(yīng)相等”進一步分類，請你仿照小剛的方法先進行分類，再概括得出一個全等四邊形的判定方法．

 

Answer 1

【答案】

不一定全等；①②③

【解析】

試題分析：（1）如正方形與矩形有一條邊對應(yīng)相等，但顯然不一定全等．   2分

（2）已知：如圖，四邊形ABCD和四邊形A₁ B₁ C₁ D₁中，AB＝A₁ B₁，BC＝B₁ C₁，CD＝C₁ D₁，DA＝D₁A₁，∠B＝∠B₁．

求證：四邊形ABCD ≌ 四邊形A₁ B₁ C₁ D₁．  3分

證明：連接AC、A₁ C₁．

∵ AB＝A₁ B₁，∠B＝∠B₁，BC＝B₁ C₁，

∴ △ABC ≌ △A₁ B₁ C₁．

∴ AC＝A₁ C₁，∠BAC＝∠B₁ A₁ C₁，

∠BCA＝∠B₁ C₁A₁．

又∵CD＝C₁ D₁，DA＝D₁A₁，

∴ △AC D≌ △A₁ B₁ C₁．

∴ ∠D＝∠D₁．

∴ ∠BAD＝∠B₁ A₁ D₁，∠BCD＝∠B₁ C₁ D₁．

∴ 四邊形ABCD ≌ 四邊形A₁ B₁ C₁ D₁．  6分

（3）①②③；      7分

有一組鄰邊和三個角對應(yīng)相等的兩個四邊形全等.   8分

（4）分為四類：

① AB=A₁B₁，BC=B₁C₁， CD=C₁D₁，∠A=∠A₁，∠B=∠B₁；

② AB=A₁B₁，BC=B₁C₁， CD=C₁D₁，∠A=∠A₁，∠C=∠C₁；

③ AB=A₁B₁，BC=B₁C₁， CD=C₁D₁，∠A=∠A₁，∠D=∠D₁；

④ AB=A₁B₁，BC=B₁C₁， CD=C₁D₁，∠B=∠B₁，∠C=∠C₁．  11分

有三條邊和這三條邊中每一組鄰邊的夾角對應(yīng)相等的兩個四邊形全等

考點：全等三角形的性質(zhì)和判定

點評：解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握判定兩個三角形全等的一般方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．