Question

如圖，已知直線l₁的解析式為y=3x+6，直線l₁與x軸，y軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，直線l₂經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（8，0），又已知點(diǎn)P在x軸上從點(diǎn)A向點(diǎn)C移動(dòng)，點(diǎn)Q在直線l₂從點(diǎn)C向點(diǎn)B移動(dòng)．點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，且移動(dòng)的速度都為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒（1＜t＜10）．
（1）求直線l₂的解析式；
（2）設(shè)△PCQ的面積為S，請(qǐng)求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）試探究：當(dāng)t為何值時(shí)，△PCQ為等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）因?yàn)閘₁過(guò)點(diǎn)B，所以代入直線l₁的解析式求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，又因?yàn)橹本�l₂經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)，所以將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入直線y=kx+b（k≠0），列方程組即可求得；
（2）過(guò)Q作QD⊥x軸于D，則△CQD∽△CBO，得出

QD

BO

=

QC

BC

，由題意，知OA=2，OB=6，OC=8，BC=

OB2+OC2

=10，得出

QD

6

=

t

10

，故QD=

3

5

t，即可求得函數(shù)解析式；
（3）要想使△PCQ為等腰三角形，需滿足CP=CQ，或QC=QP，或PC=PQ．

解答：解：（1）由題意，知B（0，6），C（8，0），
設(shè)直線l₂的解析式為y=kx+b（k≠0），則

8k+b=0 b=6

，
解得k=-

3

4

，b=6，
則l₂的解析式為y=-

3

4

x+6；

（2）解法一：如圖，過(guò)P作PD⊥l₂于D，
∵∠PDC=∠BOC=90°，∠DCP=∠OCB
∴△PDC∽△BOC
∴

PD

BO

=

PC

BC

由題意，知OA=2，OB=6，OC=8
∴BC=

OB2+OC2

=10，PD=10-t
∴

PD

6

=

10-t

10

，
∴PD=

3

5

（10-t）
∴S_△PCQ=

1

2

CQ•PD=

1

2

t•

3

5

（10-t）=-

3

10

t²+3t；

解法二：如圖，過(guò)Q作QD⊥x軸于D，
∵∠QDC=∠BOC=90°，∠QCD=∠BCO
∴△CQD∽△CBO
∴

QD

BO

=

QC

BC

由題意，知OA=2，OB=6，OC=8
∴BC=

OB2+OC2

=10
∴

QD

6

=

t

10

∴QD=

3

5

t
∴S_△PCQ=

1

2

PC•QD=

1

2

（10-t）•

3

5

t=-

3

10

t²+3t；

（3）∵PC=10-t，CQ=t，
要想使△PCQ為等腰三角形，需滿足CP=CQ，或QC=QP，或PC=PQ，
∴當(dāng)CP=CQ時(shí)，由題10-t=t，得t=5（秒）；
當(dāng)QC=QP時(shí)，

QC

BC

=

1 2 PC

OC

，即

t

10

=

1 2 (10-t)

8

解得t=

50

13

（秒）；
當(dāng)PC=PQ時(shí)，

1 2 CQ

OC

=

PC

BC

，即

1 2 t

8

=

10-t

10

，解得t=

80

13

（秒）；
即t=5或

50

13

或

80

13

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了一次函數(shù)與三角形的綜合知識(shí)，要注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．