Question

如圖，已知直線l₁的解析式為y=3x+6，直線l₁與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，直線l₂經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（8，0），又已知點(diǎn)P在x軸上從點(diǎn)A向點(diǎn)C移動，點(diǎn)Q在直線l₂從點(diǎn)C向點(diǎn)B移動．點(diǎn)P、Q同時出發(fā)，且移動的速度都為每秒1個單位長度，設(shè)移動時間為t秒（1＜t＜10）．
（1）求直線l₂的解析式；
（2）設(shè)△PCQ的面積為S，請求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）對于（2）中的△PCQ的面積S是否存在最大值？若不存在，請說明理由；若存在，求出當(dāng)t為何值時，S有最大值，最大值是多少？
（4）試探究：當(dāng)t 為何值時，△PCQ為等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)閘₁過點(diǎn)B，所以代入直線l₁的解析式求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，又因?yàn)橹本�l₂經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，所以將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入直線y=kx+b，列方程組即可求得；
（2）過點(diǎn)P作PD⊥l₂于D，利用△PDC∽△BOC得到比例式即可求得S與t的取值范圍．
（3）要想使△PCQ為等腰三角形，需滿足CP=CQ，或QC=QP，或PC=PQ．

解答：解：（1）由題意知：B（0，6）C（8，0）．
設(shè)直線l₂的解析式為y=kx+b，則

8k+b=0 b=6

解得k=-

3

4

，b=6．
故直線l₂的解析式為y=-

3

4

x+6．

（2）解法一 如圖1，過點(diǎn)P作PD⊥l₂于D，則△PDC∽△BOC．
∴

PD

BO

=

PC

BC

．
由題意知：OA=2，OB=6，OC=8．
∴BC=

OB2+OC2

=10，PC=10-t．
∴

PD

6

=

10-t

10

．
∴PD=

3

5

（10-t）．
又∵CQ=t，
∴S=

1

2

•t•

3

5

（10-t）=-

3

10

t²+3t，（1＜t＜10）．
解法二 如圖2，過點(diǎn)Q作QD⊥PC于D，則
△QDC∽△BOC

QD

BO

=

QC

BC

．
∴BC=

OB2+OC2

=10，QC=t．
∴

QD

6

=

t

10

．
∴QD=

3

5

t
又∵PC=10-t，
∴S=

1

2

•

3

5

t•（10-t）=-

3

10

t²+3t，（1＜t＜10）．
（3）由S=-

3

10

t²+3t=-

3

10

（t-5）²+

15

2

，
∵-

3

10

＜0，1＜t＜10，
∴當(dāng)t=5時，S有最大值為

15

2

．
（4）i）由圖2，若QP=QC，則PD=DC，
由

CQ

CB

=

CD

CO

，

t

10

=

10-t 2

8

，
∴t=

50

13

；  
ii）若CP=CQ，則t=10-t，
∴t=5； 
iii）若PC=PQ，過點(diǎn)P作PM⊥l₂于M，由△CPM∽△CBO．且CM=

t

2

，
由

CP

CB

=

CM

CO

，

10-t

10

=

t 2

8

，
∴t=

80

13

．

點(diǎn)評：此題考查了一次函數(shù)與三角形的綜合知識，要注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．