Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，對角線BD平分∠ABC， P是BD上一點，過點P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別為M、N.

（1）求證：∠ADB=∠CDB；

(2)若∠ADC=90°，求證：四邊形MPND是正方形.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）根據角平分線的性質和全等三角形的判定方法證明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性質即可得到：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，由（1）中的條件可得四邊形MPND是矩形，再根據兩邊相等的四邊形是正方形即可證明四邊形MPND是正方形．

證明：(1)∵對角線BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD，

在△ABD和△CBD中

AB=CB

∠ABD=∠CBD

BD=BD

∴△ABD≌△CBD(SAS)

∴∠ADB=∠CDB

(2)∵PM⊥AD，PN⊥CD，

∴∠PMD=∠PND=90，

∵∠ADC=90°，

∴四邊形MPND是矩形，

∵∠ADB=∠CDB，

∴∠ADB=45°,

∴PM=MD，

∴四邊形MPND是正方形.