Question

【題目】如圖，正方形AOCB的邊長為4，反比例函數的圖象過點E（3，4）．

（1）求反比例函數的解析式；

（2）反比例函數的圖象與線段BC交于點D，直線過點D，與線段AB相交于點F，求點F的坐標；

（3）連接OF，OE，探究∠AOF與∠EOC的數量關系，并證明．

（4）若點P是x軸上的動點，點Q是（1）中的反比例函數在第一象限圖象上的動點，且使得△PDQ為等腰直角三角形，請求出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝；（2）點F的坐標為（2，4）；（3）∠AOF＝∠EOC，理由見解析；（4）P的坐標是（，0）或（-5，0）或（，0）或（5，0）

【解析】

（1）設反比例函數的解析式為y＝，把點E（3，4）代入即可求出k的值，進而得出結論；

（2）由正方形AOCB的邊長為4，故可知點D的橫坐標為4，點F的縱坐標為4，由于點D在反比例函數的圖象上，所以點D的縱坐標為3，即D（4，3），由點D在直線上可得出b的值，進而得出該直線的解析式，再把y=4代入直線的解析式即可求出點F的坐標；

（3）在CD上取CG=AF=2，連接OG，連接EG并延長交x軸于點H，由全等三角形的判定定理可知△OAF≌△OCG，△EGB≌△HGC（ASA），故可得出EG=HG，設直線EG的解析式為y=mx+n，把E（3，4），G（4，2）代入即可求出直線EG的解析式，故可得出H點的坐標，在Rt△AOF中，AO=4，AE=3，根據勾股定理得OE=5，可知OC=OE，即OG是等腰三角形底邊EF上的中線，所以OG是等腰三角形頂角的平分線，由此即可得出結論；

（4）分△PDQ的三個角分別是直角，三種情況進行討論，作DK⊥x軸，作QR⊥x軸，作DL⊥QR，于點L，即可構造全等的直角三角形，設出P的坐標，根據點在圖象上，則一定滿足函數的解析式即可求解，

解：

（1）設反比例函數的解析式y＝，

∵反比例函數的圖象過點E（3，4），

∴4＝，即k＝12，

∴反比例函數的解析式y＝；

（2）∵正方形AOCB的邊長為4，

∴點D的橫坐標為4，點F的縱坐標為4，

∵點D在反比例函數的圖象上，

∴點D的縱坐標為3，即D（4，3），

∵點D在直線y＝﹣x+b上，

∴3＝﹣×4+b，

解得：b＝5，

∴直線DF為y＝﹣x+5，

將y＝4代入y＝﹣x+5，

得4＝﹣x+5，

解得：x＝2，

∴點F的坐標為（2，4），

（3）∠AOF＝∠EOC，理由為：

證明：在CD上取CG＝AF＝2，連接OG，連接EG并延長交x軸于點H，

，

∴△OAF≌△OCG（SAS），

∴∠AOF＝∠COG，

，

∴△EGB≌△HGC（ASA），

∴EG＝HG，

設直線EG：y＝mx+n，

∵E（3，4），G（4，2），

∴，

解得，

∴直線EG：y＝﹣2x+10，

令y＝﹣2x+10＝0，得x＝5，

∴H（5，0），OH＝5，

在Rt△AOE中，AO＝4，AE＝3，根據勾股定理得OE＝5，

∴OH＝OE，

∴OG是等腰三角形底邊EH上的中線，

∴OG是等腰三角形頂角的平分線，

∴∠EOG＝∠GOH，

∴∠EOG＝∠GOC＝∠AOF，

即∠AOF＝∠EOC；

（4）當Q在D的右側（如圖1），且∠PDQ=90°時，作DK⊥x軸，作QL⊥DK，于點L，

則△DPK≌△QDK，

設P的坐標是（a，0），則KP=DL=4-a，QL=DK=3，則Q的坐標是（4+3，4-3+a）即（7，-1+a），

把（7，-1+a）代入y=得：

7（-1+a）=12，

解得：a=，

則P的坐標是（，0）；

當Q在D的左側（如圖2），且∠PDQ=90°時，作DK⊥x軸，作QR⊥x軸，作DL⊥QR，于點L，

則△QDL≌△PDK，

則DK=DL=3，設P的坐標是b，則PK=QL=4-b，則QR=4-b+3=7-b，OR=OK-DL=4-3=1，

則Q的坐標是（1，7-b），代入y=得：

b=-5，

則P的坐標是（-5，0）；

當Q在D的右側（如圖3），且∠DQP=90°時，作DK⊥x軸，作QR⊥x軸，作DL⊥QR，于點L，

則△QDL≌△PQK，則DK=DL=3，

設Q的橫坐標是c，則縱坐標是，

則QK=QL=，

又∵QL=c-4，

∴c-4=，

解得：c=-2（舍去）或6，

則PK=DL=DR-LR=DR-QK=3-=1，

∴OP=OK-PK=6-1=5，

則P的坐標是（5，0）；

當Q在D的左側（如圖3），且∠DQP=90°時，不成立；

當∠DPQ=90°時，（如圖4），作DK⊥x軸，作QR⊥x軸，

則△DPR≌△PQK，

∴DR=PK=3，RP=QK，

設P的坐標是（d，0），

則RK=QK=d-4，

則OK=OP+PK=d+3，

則Q的坐標是（d+3，d-4），代入y=得：

（d+3）（d-4）=12，

解得：d=或（舍去），

則P的坐標是（，0），

綜上所述，P的坐標是（，0）或（-5，0）或（，0）或（5，0），