Question

【題目】已知二次函數（， 為常數）.

（1）當， 時，求二次函數的最小值；

（2）當時，若在函數值的情況下，只有一個自變量的值與其對應，求此時二次函數的解析式；

（3）當時，若在自變量的值滿足≤≤的情況下，與其對應的函數值的最小值為21，求此時二次函數的解析式.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）二次函數取得最小值-4．

（Ⅱ）或．

（Ⅲ）或．

【解析】試題分析：（Ⅰ）當b=2，c=-3時，二次函數的解析式為，把這個解析式化為頂點式利用二次函數的性質即可求最小值．

（Ⅱ）當c=5時，二次函數的解析式為,又因函數值y=1的情況下，只有一個自變量x的值與其對應，說明方程有兩個相等的實數根，利用即可解得b值，從而求得函數解析式．

（Ⅲ）當c=b2時，二次函數的解析式為，它的圖象是開口向上，對稱軸為的拋物線．分三種情況進行討論，①對稱軸位于b≤x≤b+3范圍的左側時，即＜b；②對稱軸位于b≤x≤b+3這個范圍時，即b≤≤b+3；③對稱軸位于b≤x≤b+3范圍的右側時，即＞b+3，根據列出的不等式求得b的取值范圍，再根據x的取值范圍b≤x≤b+3、函數的增減性及對應的函數值y的最小值為21可列方程求b的值（不合題意的舍去），求得b的值代入也就求得了函數的表達式．

試題解析：解：（Ⅰ）當b=2，c=-3時，二次函數的解析式為，即．

∴當x=-1時，二次函數取得最小值-4．

（Ⅱ）當c=5時，二次函數的解析式為．

由題意得，方程有兩個相等的實數根．

有，解得，

∴此時二次函數的解析式為或．

（Ⅲ）當c=b2時，二次函數的解析式為．

它的圖象是開口向上，對稱軸為的拋物線．

①若＜b時，即b＞0，

在自變量x的值滿足b≤x≤b+3的情況下，與其對應的函數值y隨x的增大而增大，

故當x=b時，為最小值．

∴，解得，（舍去）．

②若b≤≤b+3，即-2≤b≤0，

當x=時，為最小值．

∴，解得（舍去），（舍去）．

③若＞b+3，即b＜-2，

在自變量x的值滿足b≤x≤b+3的情況下，與其對應的函數值y隨x的增大而減小，

故當x=b+3時，為最小值．

∴，即

解得（舍去），．

綜上所述，或b=-4．

∴此時二次函數的解析式為或．