Question

【題目】觀察下列圖形，它是把一個三角形分別連接其三邊中點，構成4個小三角形，挖去中間的一個小三角形（如圖1）；對剩下的三個小三角形再分別重復以上做法，將這種做法繼續下去（如圖2，圖3…）.觀察規律解答以下各題：

……

（1）填寫下表:

圖形序號	挖去三角形的個數
圖1	1
圖2	1+3
圖3	1+3+9
圖4

（2）根據這個規律，求圖n中挖去三角形的個數fn(用含n的代數式表示)；

（3）若圖n+1中挖去三角形的個數為fn+1，求fn+1-fn

Answer 1

【答案】（1）40；（2）fn=3n-1+3n-2+…+32+3+1;（3）3n

【解析】分析：（1）由圖1挖去中間的1個小三角形，圖2挖去中間的（1+3）個小三角形，圖3挖去中間的（1+3+32）個小三角形，據此可得；
（2）由（1）中規律可知fn=3n-1+3n-2+…+32+3+1；
（3）將fn+1=3n+3n-1+…+32+3+1減去fn=3n-1+3n-2+…+32+3+1即可得．

詳解：（1）圖1挖去中間的1個小三角形，
圖2挖去中間的（1+3）個小三角形，
圖3挖去中間的（1+3+32）個小三角形，
則圖4挖去中間的（1+3+32+33）個小三角形，即圖4挖去中間的40個小三角形，

（2）由（1）知，圖n中挖去三角形的個數fn=3n-1+3n-2+…+32+3+1；
（3）∵fn+1=3n+3n-1+…+32+3+1，
fn=3n-1+3n-2+…+32+3+1
∴fn+1fn=3n．