Question

【題目】如圖，在中，，，點是斜邊的中點．點從點出發以的速度向點運動，點同時從點出發以一定的速度沿射線方向運動，規定當點到終點時停止運動．設運動的時間為秒，連接、．

（1）填空：______；

（2）當且點運動的速度也是時，求證：；

（3）若動點以的速度沿射線方向運動，在點、點運動過程中，如果存在某個時間，使得的面積是面積的兩倍，請你求出時間的值．

Answer 1

【答案】（1）8;(2)見解析；（3）或4或或.

【解析】

（1）直接可求△ABC的面積；
（2）連接CD，根據等腰直角三角形的性質可求：∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°，即BD=CD，且BE=CF，即可證△CDF≌△BDE，可得DE=DF；
（3）分△ADF的面積是△BDE的面積的兩倍和△BDE與△ADF的面積的2倍兩種情況討論，根據題意列出方程可求x的值．

解：（1）∵S△ABC=AC×BC
∴S△ABC=×4×4=8（cm2）
故答案為：8
（2）如圖：連接CD

∵AC=BC，D是AB中點
∴CD平分∠ACB
又∵∠ACB=90°
∴∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°
∴CD=BD
依題意得：BE=CF
∴在△CDF與△BDE中

∴△CDF≌△BDE（SAS）
∴DE=DF
（3）如圖：過點D作DM⊥BC于點M，DN⊥AC于點N，

∵AD=BD，∠A=∠B=45°，∠AND=∠DMB=90°
∴△ADN≌△BDM（AAS）
∴DN=DM
若S△ADF=2S△BDE．
∴×AF×DN=2××BE×DM
∴|4-3x|=2x
∴x1=4，x2=
若2S△ADF=S△BDE
∴2××AF×DN=×BE×DM
∴2×|4-3x|=x
∴x1=，x2=
綜上所述：x=或4或或