Question

【題目】如圖1，在中，平分，平分．

(1)若，則的度數為______；

(2)若，直線經過點．

①如圖2，若，求的度數(用含的代數式表示)；

②如圖3，若繞點旋轉，分別交線段于點，試問在旋轉過程中的度數是否會發生改變?若不變，求出的度數(用含的代數式表示)，若改變，請說明理由：

③如圖4，繼續旋轉直線，與線段交于點，與的延長線交于點，請直接寫出與的關系(用含的代數式表示)．

Answer 1

【答案】（1）130°；（2）①90-；②不變，90-；③∠NDC+∠MDB=90-．

【解析】

（1）根據已知，以及三角形內角和等于180，即可求解；

（2）①根據平行線的性質可以證得∠ABD=∠BDM=∠MBD，∠CND=∠A=，再利用含有的式子分別表示出∠NDC、∠MDB，進行作差，即可求解代數式；

②延長BD交AC于點E，則∠NDE=∠MDB，因此∠NDC-∠MDB=∠NDC-∠NDE=∠EDC，再利用三角形內角和為180，即可求解；

③如圖可知，∠NDC+∠MDB=180-∠BDC，利用平角的定義，即可求解代數式．

解：（1）∵∠A=80

∴∠ABC+∠ACB=180-80=100

又∵ BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，

∴∠DBC+∠DCB=100=50．

∴ ∠BDC=180-50=130．

（2）①∵MN//AB，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，

∴∠ABD=∠BDM=∠MBD，∠CND=∠A=，

∴ ∠NDC=180--∠ACB，∠MDB=∠ABC，

∴∠NDC-∠MDB=180--∠ACB-∠ABC=180--（∠ACB+∠ABC）=180--（180-）=90-．

②不變；延長BD交AC于點E，如圖：

∴∠NDE=∠MDB，

∵∠BDC=180-（∠ACB+∠ABC）=180-（180-）=90+，

∴∠NDC-∠MDB=∠NDC-∠NDE=∠EDC=180-∠BDC=180-（90+）=90-，

同①，說明MN在旋轉過程中∠NDC-∠MDB的度數只與∠A有關系，而∠A始終不變，

故：MN在旋轉過程中∠NDC-∠MDB的度數不會發生改變．

③如圖可知，∠NDC+∠MDB=180-∠BDC，

由②知∠BDC=90+，

∴∠NDC+∠MDB=180-（90+）=90-．

故∠NDC與∠MDB的關系是∠NDC+∠MDB=90-．