Question

（2002•內江）如圖，以△ABC的BC邊為直徑的半圓交AB于D，交AC于E，EF⊥BC，垂足為F，BF：FC=5：1，AB=8cm，AE=2cm．則AD的長是    cm．

Answer 1

【答案】分析：由割線定理知：AD•AB=AE•AC，因此求AD的長，缺少的是AC或EC的長；可通過構建直角三角形求解．連接BE，在Rt△ABE中，BE的長可由勾股定理求得；在Rt△BEC中，EF⊥BC，根據射影定理可得BE²=BF•FC，由此可求出FC、BC的長，進而可求出EC的長；即可得AD的長．
解答：解：連接BE，則∠BEC=90°；
在Rt△AEB中，AB=8cm，AE=2cm；由勾股定理得，BE²=60．
在Rt△BEC中，EF⊥BC，根據射影定理，可得：
BE²=BF•BC=5FC•6FC=30FC²；
∵BE²=60，∴FC=cm，BC=6cm；
同理，可得：EC²=FC•BC=12，即EC=2cm．
由割線定理，得：AD•AB=AE•AC，即：
AD×8=2×（2+2），解得AD=cm．
點評：本題考查了圓周角定理、直角三角形的性質、相似三角形的性質、勾股定理等知識的綜合應用．