Question

（2002•內江）如圖，以Rt△BCF的斜邊BC為直徑作⊙O，A為上一點，且=，AD⊥BC，垂足為D，過A作AE∥BF交CB的延長線于E．
求證：
（1）AE是⊙O切線；
（2）；
（3）若⊙O直徑為d，則．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證AE是⊙O切線，只要證明AE⊥OA即可；
（2）根據已知利用相似三角形的判定，再根據相似比之間的轉化從而得到結論；
（3）根據相似三角形的邊對應成比例即可證得結論．
解答：證明：（1）連接AB，OA，
∵弧AB=弧AF，OA是⊙O的半徑，
∴OA⊥BF．
∵AE∥EF，
∴AE⊥OA．
∵OA是⊙O的半徑，
∴AE是⊙O切線．

（2）∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BAC=90°．
∵AD⊥BC，
∴△ABD∽△ABC，△ACD∽△ABC．
∴AB²=BD•BC，AC²=CD•BC，
∴①
∵AE是⊙O切線；
∴∠EAB=∠ECA．
∵∠E=∠E，
∴△ABE∽△AEC．
∴，
∴②
∵AE是⊙O切線．
∴AE²=BE•EC③
由①②③得，；

（3）∵⊙O直徑為d
∴，
∴，
∴．
點評：此題考查了圓的切線的判定與性質、相似三角形的判定與性質以及比例式的變形等知識．