Question

【題目】在矩形ABCD中，AB=1，AD=，AF平分∠DAB，過C點作CEBD于E，延長AF、EC交于點H，下列結論中：①AF=FH；②B0=BF；③CA=CH；④BE=3ED；正確的個數為( )

(A)1個 (B)2個 (C)3個 (D)4個

Answer 1

【答案】C

【解析】

試題根據矩形的性質可得OA=OB=OC=OD，由AD=，AB=1根據特殊角的銳角三角函數值可求出∠ADB=30°，即得∠ABO=60°，從而可證得△ABO是等邊三角形，即得AB=BO=AO=OD=OC=DC，推出BF=AB，求出∠H=∠CAH=15°，求出DE=EO，再依次分析各小題即可作出判斷．

根據已知條件不能推出AF=FH，故①錯誤；

解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BAD=90°，

∵AD=，AB=1，

∴tan∠ADB=，

∴∠ADB=30°，

∴∠ABO=60°，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AC=BD，AC=2AO，BD=2BO，

∴AO=BO，

∴△ABO是等邊三角形，

∴AB=BO，∠AOB=∠BAO=60°=∠COE，

∵AF平分∠BAD，

∴∠BAF=∠DAF=45°，

∵AD∥BC，

∴∠DAF=∠AFB，

∴∠BAF=∠AFB，

∴AB=BF，

∵AB=BO，

∴BF=BO，故②正確；

∵∠BAO=60°，∠BAF=45°，

∴∠CAH=15°，

∵CE⊥BD，

∴∠CEO=90°，

∵∠EOC=60°，

∴∠ECO=30°，

∴∠H=∠ECO-∠CAH=30°-15°=15°=∠CAH，

∴AC=CH，故③正確；

∵△AOB是等邊三角形，

∴AO=OB=AB，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴OA=OC，OB=OD，AB=CD，

∴DC=OC=OD，

∵CE⊥BD，

∴DE=EO=DO=BD，

∴BE=3ED，故④正確；

∴正確的有3個，

故選C．