Question

（2012•岳陽一模）如圖，已知拋物線與x軸交于A（-4，0）和B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于C（0，-2）點(diǎn)．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）設(shè)G是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，作GH∥AC交AB于H，連接CH，當(dāng)△BGH的面積是△CGH面積的3倍時(shí)，求H點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）若M為拋物線上A、C兩點(diǎn)間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過M作y軸的平行線，交AC于N，當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，線段MN的值最大，并求此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，可將其解析式設(shè)為交點(diǎn)式，再代入C點(diǎn)的坐標(biāo)求解即可．
（2）對(duì)于△BGH和△CGH可看作是兩個(gè)等高的三角形，那么它們的面積比等于底邊的比，由此可以看出BG：GC=3：1，即：BG：GC=3：4，而已知了GH∥AC，那么BH：BA=BG：BC，BA、BC的長(zhǎng)易得，則BH的長(zhǎng)可求，則H點(diǎn)的坐標(biāo)不難得出．
（3）首先要求出的是直線AC的解析式，然后設(shè)出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，它們縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值就是MN的長(zhǎng)，可據(jù)此求得關(guān)于MN長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)來解即可．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式：y=a（x+4）（x-1），代入C（0，-2），得：
-2=a（0+4）（0-1），
解得：a=

1

2

故拋物線的解析式：y=

1

2

（x+4）（x-1）=

1

2

x²+

3

2

x-2．

（2）∵當(dāng)△BGH的面積是△CGH面積的3倍，
∴BG：CG=3：1，即BG：BC=3：4；
∵GH∥AC，∴

BH

AB

=

BG

BC

=

3

4

；
易知：BA=OB+OA=5，則 BH=

3

4

AB=

15

4

，
∴OH=BH-OB=

15

4

-1=

11

4

，即 H（-

11

4

，0）．

（3）設(shè)直線AC：y=kx+b，代入A（-4，0）、C（0，-2），得：

-4k+b=0 b=-2

，
解得

k=- 1 2 b=-2

故直線AC：y=-

1

2

x-2；
設(shè)M（x，

1

2

x²+

3

2

x-2），則N（x，-

1

2

x-2），則：
MN=（-

1

2

x-2）-（

1

2

x²+

3

2

x-2）=-

1

2

x²-2x=-

1

2

（x+2）²+2
因此當(dāng)M運(yùn)動(dòng)到OA的中垂線上，即M（-2，-3）時(shí)，線段MN的長(zhǎng)最大．

點(diǎn)評(píng)：該題考查了比較常見的二次函數(shù)綜合題，主要涉及了：利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式、三角形面積的解法、平行線分線段成比例定理以及二次函數(shù)的應(yīng)用，后兩題在同類項(xiàng)題中出現(xiàn)的次數(shù)較多，難度適中，應(yīng)牢固掌握其解法．