Question

【題目】平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+2過點(diǎn)A（﹣3，0）、B （1，0），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為D，點(diǎn)G在拋物線上且其縱坐標(biāo)為2．
（1）a= ， b= ， D（ ， ）．
（2）P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與A、B重合），點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)E．
①若PE=PB，試求E點(diǎn)坐標(biāo)；
②在①的條件下，PE、DG交于點(diǎn)M，在線段PE上是否存一點(diǎn)N，使得△DMN與△DCO相似？若存在，試求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)；
③在①的條件下，點(diǎn)F是坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，且點(diǎn)F到EC、ED的距離相等，試直接寫出EF的長度．

Answer 1

【答案】
（1）﹣ ；﹣ ；﹣1；
（2）

①設(shè)P（x，0），則E（x，﹣ x2﹣ x+2），則PB=1﹣x，PE=﹣ x2﹣ x+2．

∵PE=PB，

∴﹣ x2﹣ x+2=1﹣x．

∴x1=1（舍去），x2=﹣ ．

當(dāng)x=﹣ ，函數(shù)值y= ．

∴E（﹣ ， ）．

②存在點(diǎn)N（﹣ ， ），理由如下：過點(diǎn)G作GH⊥x軸，垂足為H，連結(jié)DH．

把y=2代入拋物線的解析式得：2=﹣ x2﹣ x+2，解得x=0或x=﹣2．

∴G（﹣2，2）．

拋物線的對(duì)稱軸為x=﹣1，

∵GH⊥x軸，

∴H（﹣2，0）．

∴△DOC與△DHG關(guān)于直線x=﹣1對(duì)稱．

∴要使DMN與△DCO相似，只需△DMN與△DGH相似．

∵M(jìn)N∥GH，

∴△DMN∽△DGH．

設(shè)直線DH的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)H和點(diǎn)D的坐標(biāo)代入得： ，

解得：k= ，b= ．

∴直線DH的解析式為y= x+ ．

將x=﹣ 代入得：y= ．

∴N（﹣ ， ）．

③如圖2所示：過點(diǎn)E作EF⊥y軸，交拋物線的對(duì)稱軸與點(diǎn)G，則G（﹣1， ）過點(diǎn)E作EF′⊥x垂足為F′．

設(shè)直線EC的解析式為y=mx+n將點(diǎn)E和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得： ，

解得：m=﹣ ，n=2．

∴直線EC的解析式為y= x+2．

當(dāng)x=﹣1時(shí)，y= ．

∴DG=GM．

∴點(diǎn)M與點(diǎn)D關(guān)于EF對(duì)稱．

∴EF是∠DEC的角平分線．

∴點(diǎn)F到點(diǎn)F到EC、ED的距離相等．

∴EF= ．

∵EF′⊥x垂足為F′．

∴∠FEF′=90°，

∴∠DEF+∠HEF′=90°，∠FEC+∠CEF′=90°．

又∵∠DEF=∠FEC，

∴∠HEF′=∠CEF′．

∴EF′是∠HEC的平分線，

∴點(diǎn)F′到DE和EC的距離相等．

∴EF′= ．

綜上所述，EF的長為 或 ．

【解析】解：（1）把x=0代入拋物線的解析式得：y=2，
∴C（0，2）．
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+3）（x﹣1），將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得﹣3a=2，解得：a=﹣ ．
∴拋物線的解析式為y=﹣ （x+3）（x﹣1）=﹣ x2﹣ x+2．
∴b=﹣ ．
∴x=﹣ =﹣1．
當(dāng)x=﹣1時(shí)，y= ．
∴D（﹣1， ）．
所以答案是：﹣ ；﹣ ；﹣1， ．