Question

【題目】如圖,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分線相交于點G,過點G作EF∥BC交AB于E，交AC于F，過點G作GD⊥AC于D，下列四個結論：① EF=BE+CF；②∠BGC=90°+∠A；③點G到△ABC各邊的距離相等；④設GD=m，AE+AF=n,則=mn. 其中正確的結論有( )

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

Answer 1

【答案】C

【解析】

①根據∠ABC和∠ACB的平分線相交于點G可得出∠EBG=∠CBG，∠BCG=∠FCG，再由EF∥BC可知∠CBG=∠EGB，∠BCG=∠CGF，故可得出BE=EG，GF=CF，由此可得出結論；

②先根據角平分線的性質得出∠GBC+∠GCB=（∠ABC+∠ACB），再由三角形內角和定理即可得出結論；

③根據三角形內心的性質即可得出結論；

④連接AG，根據三角形的面積公式即可得出結論．

解：①∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點G，

∴∠EBG=∠CBG，∠BCG=∠FCG．

∵EF∥BC，

∴∠CBG=∠EGB，∠BCG=∠CGF，

∴∠EBG=∠EGB，∠FCG=∠CGF，

∴BE=EG，GF=CF，

∴EF=EG+GF=BE+CF，故本小題正確；

②∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點G，

∴∠GBC+∠GCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A），

∴∠BGC=180°-（∠GBC+∠GCB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A，故本小題正確；

③∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點G，

∴點G是△ABC的內心，

∴點G到△ABC各邊的距離相等，故本小題正確；

④連接AG，

∵點G是△ABC的內心，GD=m，AE+AF=n，

∴S△AEF=AEGD+AFGD=（AE+AF）GD=nm，故本小題錯誤．

故選：C．