Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6CM．點P，Q同時由B，A兩點出發，分別沿射線BC，AC方向以1cm/s的速度勻速運動．
（1）幾秒后△PCQ的面積是△ABC面積的一半？
（2）連結BQ，幾秒后△BPQ是等腰三角形？

Answer 1

【答案】
（1）解：設運動x秒后，△PCQ的面積是△ABC面積的一半，

當0＜x＜6時，

S△ABC= ×ACBC= ×6×8=24，

即： ×（8﹣x）×（6﹣x）= ×24，

x2﹣14x+24=0，

（x﹣2）（x﹣12）=0，

x1=12（舍去），x2=2；

當6＜x＜8時，

×（8﹣x）×（x﹣6）= ×24，

x2﹣14x+72=0，

b2﹣4ac=196﹣288=﹣92＜0，

∴此方程無實數根，

當x＞8時，

S△ABC= ×ACBC= ×6×8=24，

即： ×（x﹣8）×（x﹣6）= ×24，

x2﹣14x+24=0，

（x﹣2）（x﹣12）=0，

x1=12，x2=2（舍去），

所以，當2秒或12秒時使得△PCQ的面積等于△ABC的面積的一半

（2）解：設t秒后△BPQ是等腰三角形，

①當BP=BQ時，t2=62+（8﹣t）2，

解得：t= ；

②當PQ=BQ時，（6﹣t）2+（8﹣t）2=62+（8﹣t）2，

解得：t=12；

③當BP=PQ時，t2=（6﹣t）2+（8﹣t）2，

解得：t=14±4 ．

【解析】（1）設P、Q同時出發，x秒鐘后，當0＜x＜6時，當6＜x＜8時，當x＞8時，由此等量關系列出方程求出符合題意的值；（2）分別根據①當BP=BQ時，②當PQ=BQ時，③當BP=PQ時，利用勾股定理求出即可．