Question

【題目】如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O，∠CAB的平分線分別交BD、BC于E、F，作BH⊥AF于點H，分別交AC、CD于點G、P，連結GE、GF．
（1）求證：△OAE≌△OBG．
（2）試問：四邊形BFGE是否為菱形？若是，請證明；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴OA=OB，∠AOE=∠BOG=90°．

∵BH⊥AF，

∴∠AHG=∠AHB=90°，

∴∠GAH+∠AGH=90°=∠OBG+∠AGH，

∴∠GAH=∠OBG，

即∠OAE=∠OBG．

∴在△OAE與△OBG中， ，

∴△OAE≌△OBG（ASA）；

（2）解：四邊形BFGE為菱形；理由如下：

在△AHG與△AHB中， ，

∴△AHG≌△AHB（ASA），

∴GH=BH，

∴AF是線段BG的垂直平分線，

∴EG=EB，FG=FB．

∵∠BEF=∠BAE+∠ABE=67.5°，∠BFE=90°﹣∠BAF=67.5°，

∴∠BEF=∠BFE，

∴EB=FB，

∴EG=EB=FB=FG，

∴四邊形BFGE是菱形；

【解析】（1）由正方形的性質得出OA=OB，∠AOE=∠BOG=90°，再由角的互余關系證出∠OAE=∠OBG，由ASA即可證明△OAE≌△OBG；（2）先證明△AHG≌△AHB，得出GH=BH，由線段垂直平分線的性質得出EG=EB，FG=FB；再證出∠BEF=∠BFE，得出EB=FB，因此EG=EB=FB=FG，即可得出結論．