Question

【題目】如圖，四邊形OABC為直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）．點M從O出發以每秒2個單位長度的速度向A運動；點N從B同時出發，以每秒1個單位長度的速度向C運動．其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動．過點N作NP垂直x軸于點P，連接AC交NP于Q，連接MQ．

（1）點（填M或N）能到達終點；
（2）求△AQM的面積S與運動時間t的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍，當t為何值時，S的值最大；

（3）是否存在點M，使得△AQM為直角三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）M
（2）

解：經過t秒時，NB=t，OM=2t，

則CN=3﹣t，AM=4﹣2t，

∵A（4，0），C（0，4），

∴AO=CO=4，

∵∠AOC=90°，

∴∠BCA=∠MAQ=45°，

∴QN=CN=3﹣t

∴PQ=1+t，

∴S△AMQ= AMPQ= （4﹣2t）（1+t）=﹣t2+t+2．

∴S=﹣t2+t+2=﹣t2+t﹣ + +2=﹣（t﹣ ）2+ ，

∵0≤t≤2

∴當 時，S的值最大．

（3）

解：存在．

設經過t秒時，NB=t，OM=2t

則CN=3﹣t，AM=4﹣2t

∴∠BCA=∠MAQ=45°

①若∠AQM=90°，則PQ是等腰Rt△MQA底邊MA上的高

∴PQ是底邊MA的中線

∴PQ=AP= MA

∴1+t= （4﹣2t）

∴t=

∴點M的坐標為（1，0）

②若∠QMA=90°，此時QM與QP重合

∴QM=QP=MA

∴1+t=4﹣2t

∴t=1

∴點M的坐標為（2，0）

【解析】（1）（BC÷點N的運動速度）與（OA÷點M的運動速度）可知點M能到達終點．（2）經過t秒時可得NB=y，OM﹣2t．根據∠BCA=∠MAQ=45°推出QN=CN，PQ的值．求出S與t的函數關系式后根據t的值求出S的最大值．（3）本題分兩種情況討論（若∠AQM=90°，PQ是等腰Rt△MQA底邊MA上的高；若∠QMA=90°，QM與QP重合）求出t值．