Question

【題目】如圖①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，D為AB的中點，EF為△ACD 的中位線，四邊形EFGH為△ACD的內接矩形（矩形的四個頂點均在△ACD的邊上）．

（1）計算矩形EFGH的面積；

（2）將矩形EFGH沿AB向右平移，F落在BC上時停止移動．在平移過程中，當矩形與△CBD重疊部分的面積為時，求矩形平移的距離；

（3）如圖③，將（2）中矩形平移停止時所得的矩形記為矩形，將矩形繞點按順時針方向旋轉，當落在CD上時停止轉動，旋轉后的矩形記為矩形，設旋轉角為，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）矩形移動的距離為時，矩形與△CBD重疊部分的面積是；（3）

【解析】（1）根據已知，由直角三角形的性質可知AB=2，從而求得AD，CD，利用中位線的性質可得EF，DF，利用三角函數可得GF，由矩形的面積公式可得結果；

（2）首先利用分類討論的思想，分析當矩形與△CBD重疊部分為三角形時（0＜x≤），利用三角函數和三角形的面積公式可得結果；當矩形與△CBD重疊部分為直角梯形時（＜x≤），列出方程解得x；

（3）作H2Q⊥AB于Q，設DQ=m，則H2Q＝m，又DG1＝，H2G1＝，利用勾股定理可得m，在Rt△QH2G1中，利用三角函數解得cosα．

（1）如圖①，

在中，

∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，∴AB=2,

又∵D是AB的中點，∴AD=1，．

又∵EF是的中位線，∴，

在中，AD=CD, ∠A=60°,

∴∠ADC=60°．

在中,60°，

∴矩形EFGH的面積．

（2）如圖②，設矩形移動的距離為則，

當矩形與△CBD重疊部分為三角形時，

則，

， ∴．（舍去）．

當矩形與△CBD重疊部分為直角梯形時，則，

重疊部分的面積S=, ∴．

即矩形移動的距離為時，矩形與△CBD重疊部分的面積是．

（3）如圖③，作于．

設，則，又，．

在Rt△H2QG1中， ，

解之得（負的舍去）．

∴．