Question

【題目】已知，點為二次函數圖象的頂點，直線分別交軸正半軸，軸于點，.

（1）判斷頂點是否在直線上，并說明理由.

（2）如圖1，若二次函數圖象也經過點，，且，根據圖象，寫出的取值范圍.

（3）如圖2，點坐標為，點在內，若點，都在二次函數圖象上，試比較與的大小.

Answer 1

【答案】（1）點在直線上，理由見解析；（2）的取值范圍為或.（3）①當時，；②當時，；③當時，.

【解析】（1）寫出點的坐標，代入直線進行判斷即可.

（2）直線與軸交于點為，求出點坐標，把在拋物線上，代入求得，求出二次函數表達式，進而求得點A的坐標，數形結合即可求出時，的取值范圍.

（3）直線與直線交于點，與軸交于點，而直線表達式為，聯立方程組，得.點，.分三種情況進行討論.

【解答】

（1）∵點坐標是，

∴把代入，得，

∴點在直線上.

（2）如圖1，∵直線與軸交于點為，∴點坐標為.

又∵在拋物線上，

∴，解得，

∴二次函數的表達式為，

∴當時，得，，∴.

觀察圖象可得，當時，

的取值范圍為或.

（3）如圖2，∵直線與直線交于點，與軸交于點，

而直線表達式為，

解方程組，得.∴點，.

∵點在內，

∴.

當點，關于拋物線對稱軸（直線）對稱時，

，∴.

且二次函數圖象的開口向下，頂點在直線上，

綜上：①當時，；

②當時，；

③當時，.