Question

如圖，已知AB為⊙O的直徑，AC是弦，∠BAC=30°，∠ABD=120°，CD⊥BD于D．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若AB=8，求CD的長度．

Answer 1

解：（1）證明：連接OC，BC，如圖所示；

∵AB為圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，又∠BAC=30°，
∴∠ABC=60°，
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB=60°，
∵∠ABD=120°，
∴∠CBD=∠ABD-∠ABC=60°，
∵BD⊥CD，
∴∠D=90°，
∴∠BCD=30°，
∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=90°，
∴CD⊥OC，
則CD為圓O的切線；
（2）在Rt△ABC中，∠BAC=30°，AB=8，
∴BC=AB=4，
在Rt△BCD中，∠BCD=30°，BC=4，
∴CD=BCcos30°=4×=2．
分析：（1）連接OC，BC，由AB為圓O的直徑，得到∠ACB為直角，又∠BAC=30°，得到∠ABC=60°，再由OC=OB，利用等邊對等角得到∠OBC=∠OCB，得到∠OCB的度數為60°，又∠ABD=120°，利用∠ABD-∠ABC求出∠CBD的度數，在直角三角形BCD中，求出∠BCD的度數為30°，可得出∠OCD為直角，即CD與OC垂直，即可得出CD為圓O的切線，得證；
（2）在直角三角形ABC中，利用30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，根據AB的長求出BC的長，在直角三角形BCD中，利用銳角三角函數定義表示出cos∠BCD，再由BC的長及特殊角的三角函數值即可求出CD的長．
點評：此題考查了切線的判定，勾股定理，等腰三角形的性質，以及銳角三角函數定義，切線的證明方法有兩種：有點連接，證明垂直；無點作垂線，證明垂線段等于圓的半徑．