Question

（2012•呼和浩特）如圖，已知AB為⊙O的直徑，PA與⊙O相切于點A，線段OP與弦AC垂直并相交于點D，OP與弧AC相交于點E，連接BC．
（1）求證：∠PAC=∠B，且PA•BC=AB•CD；
（2）若PA=10，sinP=

3

5

，求PE的長．

Answer 1

分析：（1）由PA為圓O的切線，利用切線的性質得到AP垂直于AB，可得出∠PAO為直角，得到∠PAD與∠DAO互余，再由AB為圓O的直徑，根據直徑所對的圓周角為直角，可得出∠ACB為直角，得到∠DAO與∠B互余，根據同角的余角相等可得出∠PAC=∠B，再由一對直角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似可得出三角形APD與三角形ABC相似，由相似得比例，再由OD垂直于AC，利用垂徑定理得到AD=CD，等量代換可得證；
（2）在直角三角形APD中，由PA及sinP的值求出AD的長，再利用勾股定理求出PD的長，進而確定出AC的長，由第一問兩三角形相似得到的比例式，將各自的值代入求出AB的上，求出半徑AO的長，在直角三角形APO中，由AP及AO的長，利用勾股定理求出OP的長，用OP-OE即可求出PE的長．

解答：（1）證明：∵PA是⊙O的切線，AB是直徑，
∴∠PAO=90°，∠C=90°，
∴∠PAC+∠BAC=90°，∠B+∠BAC=90°，
∴∠PAC=∠B，
又∵OP⊥AC，
∴∠ADP=∠C=90°，
∴△PAD∽△ABC，
∴AP：AB=AD：BC，
∵在⊙O中，AD⊥OD，
∴AD=CD，
∴AP：AB=CD：BC，
∴PA•BC=AB•CD；

（2）解：∵sinP=

3

5

，且AP=10，
∴

AD

AP

=

3

5

，
∴AD=6，
∴AC=2AD=12，
∵在Rt△ADP中，PD=

AP2-AD2

=8，
又∵△PAD∽△ABC，
∴AP：AB=PD：AC，
∴AB=

10×12

8

=15，
∴A0=OE=

15

2

，
在Rt△APO中，根據勾股定理得：OP=

AP2+OA2

=

25

2

，
∴PE=OP-OE=

25

2

-

15

2

=5．

點評：此題考查了切線的性質，相似三角形的判定與性質，圓周角定理，勾股定理，垂徑定理，以及銳角三角函數定義，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵．