Question

【題目】如圖，正五邊形的邊長為2，連結對角線AD，BE，CE，線段AD分別與BE和CE相交于點M，N．給出下列結論：①∠AME=108°；②AN2=AMAD；③MN=3﹣ ；④S△EBC=2 ﹣1．其中正確結論的個數是（　　）

A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵∠BAE=∠AED=108°，
∵AB=AE=DE，
∴∠ABE=∠AEB=∠EAD=36°，
∴∠AME=180°﹣∠EAM﹣∠AEM=108°，故①正確；
∵∠AEN=108°﹣36°=72°，∠ANE=36°+36°=72°，
∴∠AEN=∠ANE，
∴AE=AN，
同理DE=DM，
∴AE=DM，
∵∠EAD=∠AEM=∠ADE=36°，
∴△AEM∽△ADE，
∴ ，
∴AE2=AMAD；
∴AN2=AMAD；故②正確；
∵AE2=AMAD，
∴22=（2﹣MN）（4﹣MN），
∴MN=3﹣ ；故③正確；
在正五邊形ABCDE中，

∵BE=CE=AD=1+ ，
∴BH= BC=1，
∴EH= = ，
∴S△EBC= BCEH= ×2× = ，故④錯誤；
故選C．
【考點精析】本題主要考查了正多邊形和圓和相似三角形的判定與性質的相關知識點，需要掌握圓的內接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內對角；圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．