Question

如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，正方形PABC的邊長為1，將其沿x軸的正方向連續滾動，即先以頂點A為旋轉中心將正方形PABC順時針旋轉90°得到第二個正方形，再以頂點D為旋轉中心將第二個正方形順時針旋轉90°得到第三個正方形，依此方法繼續滾動下去得到第四個正方形，…，第n個正方形．設滾動過程中的點P的坐標為（x，y）．

（1）畫出第三個和第四個正方形的位置，并直接寫出第三個正方形中的點P的坐標；
（2）畫出點P（x，y）運動的曲線（0≤x≤4），并直接寫出該曲線與x軸所圍成區域的面積．

Answer 1

分析：（1）有意義直接畫圖，再有畫的圖形可直接寫出點P的坐標；
（2）有點P運動的軌跡可知為弧線，只要找到所在的圓心和半徑即可，利用扇形的面積公式即可求出該曲線與x軸所圍成區域的面積．

解答：解：（1）第三個和第四個正方形的位置如圖所示：

第三個正方形中的點P的坐標為：（3，1）；

（2）點P（x，y）運動的曲線（0≤x≤4）如圖所示：

由圖形可知它與x軸所圍成區域的面積=

π

4

+

90π× ( 2 ) 2

360

+1+

π

4

=π+1．

點評：本題考查了圖形旋轉的性質：旋轉前后圖形全等和扇形的面積公式：

nπr 2

360

，題目難度不大，不過很新穎．