Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，點D、E分別在邊AC、AB上，AD=DE= AB，連接DE．將△ADE繞點A逆時針方向旋轉，記旋轉角為θ．

（1）問題發現
①當θ=0°時， =；
②當θ=180°時， = ．
（2）拓展探究
試判斷：當0°≤θ＜360°時， 的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明；

（3）問題解決
①在旋轉過程中，BE的最大值為；
②當△ADE旋轉至B、D、E三點共線時，線段CD的長為 ．

Answer 1

【答案】
（1）；
（2）

當0°≤θ＜360°時， 的大小沒有變化，

理由：∵∠CAB=∠DAE，

∴∠CAD=∠BAE，

∵ ，

∴△ADC∽△AEB，

∴ = = ；

（3）2 +2；+1或 ﹣1
【解析】解：（1）①當θ=0°時，
在Rt△ABC中，AC=BC=2，
∴∠A=∠B=45°，AB=2 ，
∵AD=DE= AB= ，
∴∠AED=∠A=45°，
∴∠ADE=90°，
∴DE∥CB，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
所以答案是： ，
②當θ=180°時，如圖1，

∴DE∥BC，
∴ ，
∴ ，
即： ，
∴ = = ，
所以答案是： ；（3）①當點E在BD的延長線時，BE最大，
在Rt△ADE中，AE= AD=2，
∴BE最大=AB+AE=2 +2；
②如圖2，

當點E在BD上時，
∵∠ADE=90°，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ADB中，AB=2 ，AD= ，根據勾股定理得，DB= = ，
∴BE=BD+DE= + ，
由（2）知， ，
∴CD= = = +1，
如圖3，

當點D在BE的延長線上時，
在Rt△ADB中，AD= ，AB=2 ，根據勾股定理得，BD= = ，
∴BE=BD﹣DE= ﹣ ，
由（2）知， ，
∴CD= = = ﹣1．
所以答案是： +1或 ﹣1．
【考點精析】本題主要考查了勾股定理的概念和平行線分線段成比例的相關知識點，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例才能正確解答此題．