Question

【題目】（新知理解）

如圖①，點(diǎn)C在線段AB上，若BC=πAC，則稱點(diǎn)C是線段AB的圓周率點(diǎn)，線段AC、BC稱作互為圓周率伴侶線段．

（1）若AC=3，求AB；

（2）若點(diǎn)D也是圖①中線段AB的圓周率點(diǎn)（不同于點(diǎn)C），判斷AC，BD的等量關(guān)系；

（解決問(wèn)題）

如圖②，現(xiàn)有一個(gè)直徑為1個(gè)單位長(zhǎng)度的圓片，將圓片上的某點(diǎn)與數(shù)軸上表示1的點(diǎn)重合，并把圓片沿?cái)?shù)軸向右無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)1周，該點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)C的位置．

（3）若點(diǎn)M、N是線段OC的圓周率點(diǎn)，求MN的長(zhǎng)；

（4）圖②中，若點(diǎn)D在射線OC上，且線段CD與以O(shè)、C、D中某兩個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段互為圓周率伴侶線段，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D所表示的數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）3π+3；（2）AC=BD（3）MN=π﹣1；（4）D點(diǎn)所表示的數(shù)是1、π、π++2、π2+2π+1．

【解析】

（1）根據(jù)線段之間的關(guān)系代入解答即可.
（2）根據(jù)線段的大小比較即可.
（3）由題意可知，C點(diǎn)表示的數(shù)是π+1，設(shè)M點(diǎn)離O點(diǎn)近，且OM=x，根據(jù)長(zhǎng)度的等量關(guān)系列出方程求得x，進(jìn)一步得到線段MN的長(zhǎng)度.
（4）根據(jù)圓周率伴侶線段的定義可求D點(diǎn)所表示的數(shù).

（1）∵AC=3，BC=πAC，

∴BC=3π，

∴AB=AC+BC=3π+3．

（2）∵點(diǎn)D、C都是線段AB的圓周率點(diǎn)且不重合，

∴BC=πAC，AD=πBD，

∴設(shè)AC=x，BD=y，則BC=πx，AD=πy，

∵AB=AC+BC=AD+BD，

∴x+πx=y+πy，

∴x=y

∴AC=BD

（3）由題意可知，C點(diǎn)表示的數(shù)是π+1，

M、N均為線段OC的圓周率點(diǎn)，不妨設(shè)M點(diǎn)離O點(diǎn)近，且OM=x，

x+πx=π+1，解得x=1，

∴MN=π+1﹣1﹣1=π﹣1；

（4）設(shè)點(diǎn)D表示的數(shù)為x，

如圖1，若CD=πOD，則π+1﹣x=πx，解得x=1；

如圖2，若OD=πCD，則x=π（π+1﹣x），解得x=π；

如圖3，若OC=πCD，則π+1=π（x﹣π﹣1），解得x=π++2；

如圖4，若CD=πOC，則x﹣（π﹣1）=π（π+1），解得x=π2+2π+1；

綜上，D點(diǎn)所表示的數(shù)是1、π、π++2、π2+2π+1．