Question

【題目】已知中，，，過頂點作射線.

（1）當射線在外部時，如圖①，點在射線上，連結、，已知，，（）.

①試證明是直角三角形；

②求線段的長.（用含的代數式表示）

（2）當射線在內部時，如圖②，過點作于點，連結，請寫出線段、、的數量關系，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）①詳見解析；（2）（）；（2），理由詳見解析.

【解析】

（1）①根據勾股定理的逆定理進行判斷；

②過點C作CE⊥CD交DB的延長線于點E，利用同角的余角相等證明∠3=∠4，∠1=∠E，進而證明△ACD≌△BCE，求出DE的長，再利用勾股定理求解即可.

（2）過點C作CF⊥CD交BD的延長線于點F，先證∠ACD=∠BCF，再證△ACD≌△BCF，得CD=CF，AD=BF，再利用勾股定理求解即可.

（1）①∵

又∵

∴

∴△ABD是直角三角形

②如圖①，過點C作CE⊥CD交DB的延長線于點E，

∵∠3+∠BCD=∠ACD=90°，∠4+∠BCD=∠DCE=90°

∴∠3=∠4

由①知△ABD是直角三角形

∴

又∵

∴∠1=∠E

在和中，

∴△ACD≌△BCE

∴，

∴

又∵，

∴由勾股定理得

∴（）

（2）AD、BD、CD的數量關系為：，

理由如下：

如圖②，過點C作CF⊥CD交BD的延長線于點F，

∵∠ACD=90°+∠5，∠BCF=90°+∠5

∴∠ACD=∠BCF

∵BD⊥AD

∴∠ADB=90°

∴∠6+∠7=90°

∵∠ACB=90°

∴∠9=∠8=90°

又∵∠6=∠8

∴∠7=∠9

和中

∴△ACD≌△BCF

∴CD=CF，AD=BF

又∵∠DCF=90°

∴由勾股定理得

又DF=BF-BD=AD-BD

∴