Question

【題目】如圖， 正比例函數的圖象與反比例函數的圖象交于A、B兩點，過點A作AC垂直x軸于點C，連接BC，若ΔABC面積為 2.

（1）求k的值

（2）x軸上是否存在一點D，使ΔABD是以AB為斜邊的直角三角形？若存在，求出點D的坐標，若不存在，說明理由。

Answer 1

【答案】（1）k=2（2）D（，0）或（-，0）

【解析】試題分析:(1)根據對稱性可得OA=OB,從而可得△ACO的面積為1,由此可求出點A的坐標,然后運用待定系數法就可解決問題,

(2)先將y=2x與y=聯立成方程組,求出A,B兩點的坐標,由 O為線段AB的中點,

可得OD=AB=OA,然后利用勾股定理求出OA的值,即可求出D點的坐標.

試題解析:(1)設點A的坐標為（m,n）,

∵點A在直線y=2x上,

∴n=2m,

根據對稱性可得OA=OB,

∴S△ABC=2S△ACO=2,

∴S△ACO=1,

∴m2m=1,

∴m=1（舍負）,

∴點A的坐標為（1,2）,

∴k=1×2=2,

（2）x軸上存在一點D,使△ABD為直角三角形,

將y=2x與y=聯立成方程組得:

,

解得: ,,

∴A（1,2）,B（－1,－2）,

當AD⊥BD時,如圖,

∵O為線段AB的中點,

∴OD=AB=OA,

∵A（1,2）,

∴OC=1,AC=2,

由勾股定理得:OA==,

∴OD=,

∴D（,0）,

根據對稱性,當D為直角頂點,且D在x軸負半軸時,D（－,0）,

故x軸上存在一點D,使△ABD為直角三角形,點D的坐標為（,0）或（－,0）.