Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，點D、E位于AB兩側的半圓上，射線DC切⊙O于點D，已知點E是半圓弧AB上的動點，點F是射線DC上的動點，連接DE、AE，DE與AB交于點P，再連接FP、FB，且∠AED＝45°．

（1）求證：CDAB；

（2）填空：

①當∠DAE＝ 時，四邊形ADFP是菱形；

②當∠DAE＝ 時，四邊形BFDP是正方形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①；②90°

【解析】

（1）要證明CD∥AB，只要證明∠ODF=∠AOD即可，根據切線的性質，圓周角定理即可證明∠ODF=∠AOD，從而可以解答本題；
（2）①根據四邊形ADFP是菱形和菱形的性質，可以求得∠DAE的度數；
②根據四邊形BFDP是正方形，可以求得∠DAE的度數．

（1）證明：連接OD，如圖所示，

∵射線DC切⊙O于點D，

∴OD⊥CD，

即∠ODF＝90°，

∵∠AED＝45°，

∴∠AOD＝2∠AED＝90°，

∴∠ODF＝∠AOD，

∴CD∥AB；

（2）①連接AF與DP交于點G，如上圖所示，

∵四邊形ADFP是菱形，∠AED＝45°，OA＝OD，

∴AF⊥DP，∠AOD＝90°，∠DAG＝∠PAG，

∴∠AGE＝90°，∠DAO＝45°，

∴∠EAG＝45°，∠DAG＝∠PEG＝22.5°，

∴∠EAD＝∠DAG+∠EAG＝22.5°+45°＝67.5°，

故答案為：67.5°；

②∵四邊形BFDP是正方形，

∴BF＝FD＝DP＝PB，

∠DPB＝∠PBF＝∠BFD＝∠FDP＝90°，

∴此時點P與點O重合，

∴此時DE是直徑，

∴∠EAD＝90°，

故答案為：90°．