Question

4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，-1），點(diǎn)C（m，0）是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）如圖1，點(diǎn)B在第四象限，△AOB和△BCD都是等邊三角形，點(diǎn)D在BC的上方，當(dāng)點(diǎn)C在x軸上運(yùn)動(dòng)到如圖所示的位置時(shí)，連接AD，請(qǐng)證明△ABD≌△OBC；
（2）如圖2，點(diǎn)B在x軸的正半軸上，△ABO和△ACD都是等腰直角三角形，點(diǎn)D在AC的上方，∠D=90°，當(dāng)點(diǎn)C在x軸上運(yùn)動(dòng)（m＞1）時(shí)，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，y），請(qǐng)?zhí)角髖與x之間的函數(shù)表達(dá)式；
（3）如圖3，四邊形ACEF是菱形，且∠ACE=90°，點(diǎn)E在AC的上方，當(dāng)點(diǎn)C在x軸上運(yùn)動(dòng)（m＞1）時(shí)，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，y），請(qǐng)?zhí)角髖與x之間的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）由等邊三角形的性質(zhì)得到AB=OB，BD=BC，∠ABO=∠DBC=60°，從而判斷出∠ABD=∠OBC即可；
（2）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥y軸，垂足為H，延長(zhǎng)HD，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥HD，垂足為G，由△ABO和△ACD都是等腰直角三角形，得出∠ADC=90°，AD=CD，∠CDG=∠DAH，從而得到△AHD≌△DGC（AAS），根據(jù)DH=CG=OH，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，y），得出y與x之間的關(guān)系是y=x；
（3）過(guò)點(diǎn)E作EM⊥x軸，垂足為M，則∠EMC=∠COA=90°，再利用正方形的性質(zhì)即可得出△EMC≌△COA（AAS），得到MC=OA=1，EM=OC，EM=OC=x+1，進(jìn)而得出y與x之間的關(guān)系是y=x+1．

解答 解：（1）∵△AOB和△BCD都是等邊三角形，
∴AB=OB，BD=BC，∠ABO=∠DBC=60°，
∴∠ABD=∠OBC，
在△ABD和△OBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=OB}\\{∠ABD=∠OBC}\\{BD=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABD和△OBC；            
 
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥y軸，垂足為H，延長(zhǎng)HD，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥HD，垂足為G．
∴∠AHD=∠CGD=90°，
∵△ABO和△ACD都是等腰直角三角形，
∴∠ADC=90°，AD=CD，
∴∠ADH+∠CDG=90°，
∵∠ADH+∠DAH=90°，
∴∠CDG=∠DAH，
∵在△AHD和△DGC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AHD=∠CGD}\\{∠CDG=∠DAH}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△AHD≌△DGC（AAS），
∴DH=CG=OH，
∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，y），
∴y與x之間的關(guān)系是y=x；

（3）過(guò)點(diǎn)E作EM⊥x軸，垂足為M，則∠EMC=∠COA=90°，
∵四邊形ACEF是菱形，且∠ACE=90°，
∴AC=CE，∠ACO+∠ECO=90°，
∵∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠ECO=∠CAO，
在△EMC和△COA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EMC=∠COA}\\{∠ECO=∠CAO}\\{AC=CE}\end{array}\right.$，
∴△EMC≌△COA（AAS），
∴MC=OA=1，EM=OC，
∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，y），
∴EM=OC=x+1，
∴y與x之間的關(guān)系是y=x+1．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，主要考查了等邊三角形，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵是判定三角形全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等進(jìn)行推導(dǎo)．本題也可以運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解．