Question

如圖，已知△ABC為等邊三角形，D、F分別為BC、AB邊上的點，CD=BF，以AD為邊作等邊△ADE．
（1）△ACD和△CBF全等嗎？請說明理由；
（2）判斷四邊形CDEF的形狀，并說明理由；
（3）當點D在線段BC上移動到何處時，∠DEF=30°．

Answer 1

（1）△ACD≌△CBF
證：∵△ABC為等邊三角形
∴AC=BC
∠ACD=∠B=60°
∵CD=BF
∴△ACD≌△CBF（SAS）

（2）四邊形CDEF為平行四邊形
∵△ACD≌△CBF
∴∠DAC=∠BCF，CF=AD
∵△AED是等邊三角形
∴AD=DE
∴CF=DE①
∵∠ACG+∠BCF=60°
∴∠ACG+∠DAC=60°
∴∠AGC=180°-（∠ACG+∠DAC）=120°
∴∠DGF=∠AGC=120°
∵△AED是等邊三角形
∴∠ADE=60°
∴∠DGF+∠ADE=180°
∴CF∥DE②
綜合①②可得四邊形CDEF是平行四邊形．

（3）∵AC=BC，
當點D是BC中點時，BF=CD=

1

2

BC=

1

2

AB，
∴CF為AB邊上的中線，CF平分∠ACB，
∴∠DEF=

1

2

∠ACB=30°，
∴當點D是BC中點時，∠DEF=30°．