Question

【題目】已知△ABC是⊙O的內接三角形，∠BAC的平分線交⊙O于點D．

（I）如圖①，若BC是⊙O的直徑，BC＝4，求BD的長；

（Ⅱ）如圖②，若∠ABC的平分線交AD于點E，求證：DE＝DB．

Answer 1

【答案】（I）BD＝2；（II）見解析.

【解析】

（I）連接OD，易證△DOB是等腰直角三角形，由勾股定理即可求出BD的長；

（II）由角平分線的定義結合（1）的結論即可得出∠CBD+∠CBE＝∠BAE+∠ABE，再根據三角形外角的性質即可得出∠EBD＝∠DEB，由此即可證出BD＝DE．

解：（I）連接OD，

∵BC是⊙O的直徑，

∴∠BAC＝90°，

∵∠BAC的平分線交⊙O于點D，

∴∠BAD＝∠CAD＝45°，

∴∠BOD＝90°，

∵BC＝4，

∴BO＝OD＝2，

∴；

（II）證明：∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE＝∠CBE．

∵∠BAD＝∠CBD，

∴∠CBD+∠CBE＝∠BAE+∠ABE．

又∵∠DEB＝BAE+∠ABE，

∴∠EBD＝∠DEB，

∴BD＝DE．