Question

【題目】定義：（一）如果兩個函數y1，y2，存在x取同一個值，使得y1＝y2，那么稱y1，y2為“合作函數”，稱對應x的值為y1，y2的“合作點”；

（二）如果兩個函數為y1，y2為“合作函數”，那么y1+y2的最大值稱為y1，y2的“共贏值”．

（1）判斷函數y＝x+2m與y＝是否為“合作函數”，如果是，請求出m＝1時它們的合作點；如果不是，請說明理由；

（2）判斷函數y＝x+2m與y＝3x﹣1（|x|≤2）是否為“合作函數”，如果是，請求出合作點；如果不是，請說明理由；

（3）已知函數y＝x+2m與y＝x2﹣（2m+1）x+（m2+4m﹣3）（0≤x≤5）是“合作函數”，且有唯一合作點．

①求出m的取值范圍；

②若它們的“共贏值”為24，試求出m的值．

Answer 1

【答案】（1）是 “合作函數”，“合作點”為x＝2或x＝﹣4；（2）當﹣≤m≤時，函數y＝x+2m與y＝3x﹣1（|x|≤2）是“合作函數”；當m＞或m＜﹣時，函數y＝x+2m與y＝3x﹣1（|x|≤2）不是“合作函數”；（3）①﹣3≤m＜1或2＜m≤6；②m＝2﹣或m＝﹣3+．

【解析】

(1)由于y＝x+2m與y＝都經過第一、第三象限，所以兩個函數有公共點，可以判斷兩個函數是“合作函數”，再聯立x+2＝，解得x＝﹣4或x＝2，即可求“合作點”；

(2)假設是“合作函數”，可求“合作點”為x＝m+，再由|x|≤2，可得當﹣≤m≤時，是“合作函數”；當m＞或m＜﹣時，不是“合作函數”；

(3)①由已知可得：x+2m＝x2﹣（2m+1）x+（m2+4m﹣3），解得x＝m+3或x＝m﹣1，再由已知可得當0≤m+3≤5時，﹣3≤m≤2，當0≤m﹣1≤5時，1≤m≤6，因為只有一個“合作點”則﹣3≤m＜1或2＜m≤6；②y＝x+2m在0≤x≤5的最大值為5+2m，當﹣3≤m＜1時，函數的對稱軸﹣≤m+＜，此時當x＝5時有最大值m2﹣6m+16；當2＜m≤6時，對稱軸＜m+≤，當x＝0時有最大值m2+4m﹣3；再由“共贏值”即可求m值．

解；(1)∵y＝x+2m是經過第一、第三象限的直線，y＝是經過第一、第三象限的雙曲線，

∴兩函數有公共點，

∴存在x取同一個值，使得y1＝y2，

∴函數y＝x+2m與y＝是“合作函數”；

當m＝1時，y＝x+2，

∴x+2＝，解得x＝﹣4或x＝2，

∴“合作點”為x＝2或x＝﹣4；

(2)假設函數y＝x+2m與y＝3x﹣1是“合作函數”，

∴x+2m＝3x﹣1，

∴x＝m+，

∵|x|≤2，

∴﹣2≤m+≤2，

∴﹣≤m≤，

∴當﹣≤m≤時，函數y＝x+2m與y＝3x﹣1（|x|≤2）是“合作函數”；當m＞或m＜﹣時，函數y＝x+2m與y＝3x﹣1（|x|≤2）不是“合作函數”；

(3)①∵函數y＝x+2m與y＝x2﹣（2m+1）x+（m2+4m﹣3）（0≤x≤5）是“合作函數”，

∴x+2m＝x2﹣（2m+1）x+（m2+4m﹣3），

∴x2﹣（2m+2）x+（m2+2m﹣3）＝0，

∴x＝m+3或x＝m﹣1，

∵0≤x≤5時有唯一合作點，

當0≤m+3≤5時，﹣3≤m≤2，

當0≤m﹣1≤5時，1≤m≤6，

∴﹣3≤m＜1或2＜m≤6時，滿足題意；

②y＝x+2m在0≤x≤5的最大值為5+2m，

y＝x2﹣（2m+1）x+（m2+4m﹣3）的對稱軸為x＝m+，

當﹣3≤m＜1時，則﹣≤m+＜，

當x＝5時有最大值，最大值為m2﹣6m+16，

∴5+2m+m2﹣6m+17＝24，

解得m＝2+或m＝2﹣，

∴m＝2﹣；

當2＜m≤6時，則＜m+≤，

當x＝0時有最大值，最大值為m2+4m﹣3，

∴5+2m+m2+4m﹣3＝24，

解得m＝﹣3+或m＝﹣3﹣，

∴m＝﹣3+；

綜上所述：m＝2﹣或m＝﹣3+．