Question

【題目】我們知道，如果兩個三角形全等，則它們面積相等，而兩個不全等的三角形，在某些情況下，可通過證明等底等高來說明它們的面積相等，已知與是等腰直角三角形，，連接、．

（1）如圖1，當時，求證

（2）如圖2，當時，上述結論是否仍然成立？如果成立，請證明；如果不成立，說明理由．

（3）如圖3，在(2)的基礎上，如果點為的中點，連接，延長交于，試猜想與的位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)成立，理由見解析；(3) GF⊥BE，證明見解析

【解析】

(1)由△ABC和△DEC是等腰直角三角形，即可得出相應的線段相等，從而可以證明出；

(2)作AG垂直于DC的延長線于G，作BH垂直于CE，垂足為H，利用題目已知條件可證的△ACG≌△BCH，從而知道AG=BH，即可得出；

(3) 延長CG到點H，連接AH，根據題目已知可證的△AGH≌△DGC，得到CD=AH，∠AHG=∠HCD，進一步證的△AHC≌△ECB，得到∠CEB=∠AHC=∠HCD，最后利用互余即可證得GF⊥BE．

證明：(1)∵△ABC和△DEC是等腰直角三角形

∴AC=CB，DC=CE，∠ACB=∠DCE=90°

∵∠BCE=90°

∴∠ACD=90°

∵，

∴

(2)成立

如圖所示，作AG垂直于DC的延長線于G，作BH垂直于CE，垂足為H

∵∠DCE=90°

∴∠GCE=90°

∵BH⊥CE

∴∠BHC=90°

∴GD∥BH

∴∠GCB=∠CBH

∵∠GCB+∠ACG=90°，∠BCH+∠CBH=90°

∴∠BCH=∠ACG

在△ACG和△BCH中

∴△ACG≌△BCH

∴AG=BH

∵，，CE=CD

∴

(3)GF⊥BE

如圖所示，延長CG到點H，使得HG=GC，連接AH

∵點G為AD的中點

∴AG=GD

在△AGH和△DGC

∴△AGH≌△DGC

∴CD=AH，∠AHG=∠HCD

∴AH∥CD

∴∠HAC+∠ACD=180°

∵∠ACB=∠DCE=90°

∴∠ACD+∠BCE=180°

∴∠HAC=∠BCE

∵△DCE是等腰三角形

∴CD=CE

∴CE=AH

在△AHC和△ECB中

∴△AHC≌△ECB

∴∠CEB=∠AHC=∠HCD

∵∠HCD+∠FCE=90°

∴∠FCE+∠CEF=90°

∴∠CFE=90°

∴GF⊥BE