Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，AB＝5cm，BD＝8cm，動點P從點B開始沿BC邊勻速運動，動點Q從點D開始沿對角線DB勻速運動，它們的運動速度均為1cm/s，過點Q作QE⊥CD，與CD交于點E，連接PQ，點P和點Q同時出發，設運動時間為t（s），0＜t≤5．

（1）當PQ∥CD時，求t的值；

（2）設四邊形PQEC的面積為S（cm2），求S與t之間的函數關系式；

（3）當P，Q兩點運動到使∠PQE＝60°時，求四邊形PQEC的面積；

（4）是否存在某一時刻t，使PQ+QE的值最小？若存在，請求t的值，并求出此時PQ+QE的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）t＝；（2）S＝t+12；（3）；（4）存在，理由見解析．

【解析】

（1）根據平行線分線段成比例定理得：，代入計算可得t的值；

（2）先根據三角函數表示PH和EQ、DE的長，根據面積差表示S與t之間的函數關系式；

（3）如圖2，作輔助線，構建相似三角形和60度的直角三角形，根據平行 線分線段成比例定理列式為：，可得MQ＝BM＝，證明△QMP∽△FCP，計算FC的長，根據FE＝QE，列方程可得t的值，代入（2）中S與t的關系式可得結論；

（4）過Q作QF⊥AD于F，當P、Q、F三點共線時，PQ+QE的值最小，最小值就是菱形的高線PF．

解：（1）由題意得：PB＝DQ＝t，

∵BD＝8，

∴BQ＝8﹣t，

當PQ∥CD時，，

，t＝；

（2）如圖1，過P作PH⊥BD于H，連接AC交BD于點O，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∴∠BOC＝∠COD＝90°，

∵AB＝BC＝CD＝5，OB＝OD＝BD＝4，

∴OC＝3，

∴sin∠HBP＝，

∵PB＝t，

∴PH＝t，同理得EQ＝，

∴S＝S△BCD﹣S△BPQ﹣S△DEQ＝；

（3）如圖2，過Q作QM∥CD，交BC于M，延長QP與EC交于點F，

∴，即，

∴MQ＝BM＝，

∴，

∵MQ∥FC，

∴△QMP∽△FCP，

∴，即，

Rt△FQE中，∵∠PQE＝60°，

由（2）知：四邊形PQEC的面積＝，

∴四邊形PQEC的面積＝；

（可以過P作CD的平行線）；

（4）存在，

如圖4，過Q作QF⊥AD于F，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴BD平分∠ADC，

∵QE⊥CD，

∴QE＝QF，

∴當P、Q、F三點共線時，PQ+QE的值最小，

∵AD∥BC，

∴PF⊥BC，

S菱形ABCD＝PFBC＝，

∵PF＝PQ+FQ＝PQ+EQ＝

∴存在，當t＝s時，使PQ+QE的值最小，最小值是．