Question

【題目】如圖1，點是的內部一點，連接、和，如果、和中有兩個角相等，則稱是的“等心”．特別地，若這三個角都相等，則稱是的“恒等心”．

（1）在等邊中，點是恒等心，，則點到的距離是_______；

（2）如圖2，在中，，點是的外接圓外一點，連接，交于點，試判斷是不是的“等心”，并說明理由；

（3）如圖3，分別以銳角的邊、為邊向外做等邊和等邊，和相交于點，求證：點是的“恒等心”．

Answer 1

【答案】（1）；（2）是的“等心”，理由見解析；（3）證明見解析．

【解析】

（1）先根據“恒等心”的定義求出，再根據三角形全等的判定定理與性質得出，然后根據等腰三角形的性質可得，最后解直角三角形即可得；

（2）先根據等腰三角形的性質可得，再根據圓周角定理可得，從而可得，然后根據領補角的定義、等量代換可得，最后根據圓內接四邊形的性質可得，從而可得，由此即可得證；

（3）如圖（見解析），先根據三角形全等的判定定理可得，從而根據三角形全等的性質可得，再根據三角形的外角性質可得，從而可得，然后根據相似三角形的判定與性質可得，又根據相似三角形的判定與性質可得，最后根據角的和差可得出，由此即可得證．

（1）如圖，過點P作于點D

由“恒等心”的定義得：

是等邊三角形

在和中，

（等腰三角形的三線合一）

在中，，即

解得

即點到的距離是2

故答案為：；

（2）如圖，連接PA、PB

由圓周角定理得：

又

由圓內接四邊形的性質可知，

是的“等心”；

（3）如圖，連接

和都是等邊三角形

，，

，即

在和中，

在和中，

，即

在和中，

則點是的“恒等心”．