Question

【題目】如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝4，BC＝7，點(diǎn)P是BC邊上與點(diǎn)B不重合的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R，交AD于點(diǎn)Q(點(diǎn)Q與點(diǎn)D不重合)，且∠RPC＝45°.設(shè)BP＝x，梯形ABPQ的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】y＝4x＋8(0<x<3)．

【解析】

由梯形面積公式S=(AQ+BP)×AB，設(shè)BP=x，AB=4，需求得AQ，又∠RPC=45，AQ=AD-QD，QD=RD=RC-CD=PC-CD，由此得出y與x之間的函數(shù)關(guān)系；對(duì)于自變量x的取值范圍，求臨界條件Q與D重合時(shí)，BP=x=3，又Q與D不重合，故x＜3．

如圖，過點(diǎn)D作DP′∥PQ，交BC于點(diǎn)P′，

則∠DP′C＝∠RPC＝45°，

∴P′C＝CD＝4，∴BP′＝3.∴BP＜3.

∵BP＝x，∴PC＝7－x.

在Rt△PCR中，∠C＝90°，

∠RPC＝45°，

∴CR＝PC＝7－x.

∴QD＝RD＝CR－CD

＝7－x－4

＝3－x，

∴AQ＝AD－QD

＝7－(3－x)

＝4＋x.

∴y＝ (BP＋AQ)·AB

＝ (x＋4＋x)×4

＝4x＋8(0<x<3)．