Question

【題目】如圖，矩形紙片，將和分別沿和折疊()，點和點都與點重合；再將沿折疊，點落在線段上點處．

（1）判斷和中有哪幾對相似三角形？ (不需說明理由)

（2）如果，求的長．

Answer 1

【答案】（1）與與與三對相似三角形；（2）．

【解析】

（1）由矩形的性質得∠A=∠B=∠C=90°，由折疊的性質和等角的余角相等，可得∠BPQ=∠AMP=∠DQC，所以△AMP∽△BPQ∽△CQD；
（2）先證明MD=MQ，然后根據sin∠DMF，設DF=3x，MD=5x，表示出AP、BP、BQ，再根據△AMP∽△BPQ，列出比例式解方程求解即可．

解：（1）△AMP∽△BPQ∽△CQD，理由如下：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=90°，
根據折疊的性質可知：∠APM=∠EPM，∠EPQ=∠BPQ，
∴∠APM+∠BPQ=∠EPM+∠EPQ=90°，
∵∠APM+∠AMP=90°，
∴∠BPQ=∠AMP，
∴△AMP∽△BPQ，
同理：△BPQ∽△CQD，
根據相似的傳遞性，△AMP∽△CQD；
故與與與三對相似三角形；

（2）∵AD∥BC，∴∠DQC=∠MDQ，
根據折疊的性質可知：∠DQC=∠DQM，
∴∠MDQ=∠DQM，∴MD=MQ，
∵AM=ME，BQ=EQ，∴BQ=MQ-ME=MD-AM，
∵sin∠DMF=，∴設DF=3x，MD=5x，
∴BP=PA=PE=，BQ=5x-1，
∵△AMP∽△BPQ，∴，

，

解得：x=（舍）或x=2，
∴AB=3x=6．